Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja: (a) máxima? (b) mínima?
Passo 1
O enunciado diz que temos um fio de
m, que é cortado em duas partes: uma de comprimento
dobrada em formato de quadrado e outra de comprimento
dobrada em formato de triângulo equilátero. O objetivo é achar o valor de
que torna a área total
máxima e o que a torna mínima. Vamos usar cálculo de derivadas para isso.
Passo 2
Expressamos a área do quadrado em função de
. Se o perímetro é
, cada lado mede
, então
Passo 3
Expressamos a área do triângulo equilátero em função de
. Se o perímetro é
, cada lado mede
, e a área é
Passo 4
Somando, a área total é
Passo 5
Calculamos a derivada e achamos o ponto crítico:
Igualando a zero:
Passo 6
Verificamos o tipo de extremo com a segunda derivada:
ou seja, é convexa e o ponto crítico é mínimo.
Passo 7
Finalmente, comparamos as áreas nos extremos do domínio
e
:
O maior valor é
em
.
Resposta
(a) A área total é máxima se
m (todo o fio vira quadrado).
(b) A área total é mínima se
(b) A área total é mínima se