Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja: (a) máxima? (b) mínima?

Passo 1

O enunciado diz que temos um fio de 10 m, que é cortado em duas partes: uma de comprimento x dobrada em formato de quadrado e outra de comprimento 10 - x dobrada em formato de triângulo equilátero. O objetivo é achar o valor de x que torna a área total
A(x)=A_{\text{quad}}(x)+A_{\text{tri}}(x)
máxima e o que a torna mínima. Vamos usar cálculo de derivadas para isso.

Passo 2

Expressamos a área do quadrado em função de x. Se o perímetro é x, cada lado mede x/4, então
A_{\text{quad}}(x)=\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)^{2}=\frac{x^{2}}{16}.

Passo 3

Expressamos a área do triângulo equilátero em função de 10 - x. Se o perímetro é 10 - x, cada lado mede (10 - x)/3, e a área é
A_{\text{tri}}(x) =\frac{\sqrt{3}}{4}\Bigl(\frac{10 - x}{3}\Bigr)^{2} =\frac{\sqrt{3}}{36}\,(10 - x)^{2}.

Passo 4

Somando, a área total é
A(x)=\frac{x^{2}}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}\,(10 - x)^{2}.

Passo 5

Calculamos a derivada e achamos o ponto crítico:
A'(x) =\frac{2x}{16} +\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot2\,(10 - x)\cdot(-1) =\frac{x}{8}-\frac{\sqrt{3}}{18}\,(10 - x).
Igualando a zero:
\frac{x}{8} =\frac{\sqrt{3}}{18}\,(10 - x) \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{40\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}\approx4{,}35\text{ m}.

Passo 6

Verificamos o tipo de extremo com a segunda derivada:
A''(x)=\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{18}>0,
ou seja, é convexa e o ponto crítico é mínimo.

Passo 7

Finalmente, comparamos as áreas nos extremos do domínio x=0 e x=10:
A(0)=\frac{\sqrt{3}}{36}\,10^{2}=\frac{25\sqrt{3}}{9}\approx4{,}81, \qquad A(10)=\frac{10^{2}}{16}=6{,}25.
O maior valor é 6{,}25 em x=10.

Resposta

(a) A área total é máxima se x=10 m (todo o fio vira quadrado).
(b) A área total é mínima se
x=\frac{40\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}\approx4{,}35\text{ m}.

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