Um corpo de massa 1,0 \mathrm{~kg} é lançado obliquamente, a partir do solo, sem girar. O valor da componente vertical da velocidade, no instante do lançamento, é 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o valor da componente horizontal é 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Supondo que o corpo esteja sujeito exclusivamente à ação da gravidade, determine:
a) a altura máxima atingida;
b) o alcance.

Passo 1

O enunciado dá um corpo lançado obliquamente (sem giro) a partir do solo e pede duas coisas:
a) a altura máxima atingida;
b) o alcance horizontal (distância horizontal percorrida até voltar ao solo).
Informações fornecidas (vou listar tudo o que usaremos):
  • massa do corpo: 1,0\\ \mathrm{kg} (não influencia no movimento quando só a gravidade age, mas está no enunciado);
  • componente vertical da velocidade inicial: v_{y0}=4,0\\ \mathrm{m/s};
  • componente horizontal da velocidade inicial: v_{x0}=5,0\\ \mathrm{m/s};
  • supondo apenas a gravidade atuando, tomo g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que precisamos encontrar: a altura máxima h_{\max} e o alcance R.

Passo 2

Entendendo o movimento vertical (passo a passo didático).
Quando só a gravidade atua, a componente vertical da velocidade varia com o tempo segundo a equação cinemática básica
v_{y}(t)=v_{y0}-g\,t,
onde v_{y}(t) é a velocidade vertical num instante t, v_{y0} é a velocidade vertical inicial e g é a aceleração da gravidade (positiva aqui, subtraímos porque a gravidade reduz a velocidade vertical para cima).
O corpo atinge a altura máxima quando a velocidade vertical passa por zero (o corpo deixa de subir e começa a descer). Portanto o instante de subida máxima t_{\text{subida}} satisfaz
0=v_{y0}-g\,t_{\text{subida}}.
Resolvendo para t_{\text{subida}} obtemos
t_{\text{subida}}=\frac{v_{y0}}{g}.

Passo 3

Cálculo do tempo até o topo com os números dados.
Substituindo v_{y0}=4,0 e g=9,8:
t_{\text{subida}}=\frac{4,0}{9,8}.
Faço a divisão passo a passo: 9,8 cabe em 4,0 aproximadamente 0,408163. Arredondando razoavelmente:
t_{\text{subida}}\approx 0,408\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Fórmula para a altura máxima (explicação e derivação curta e clara).
Posso usar a equação do deslocamento vertical
y(t)=v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2},
onde y(t) é a altura em relação ao solo no tempo t. A altura máxima é y avaliada em t_{\text{subida}}. Substituindo t_{\text{subida}}=\dfrac{v_{y0}}{g} obtém-se a forma conhecida
h_{\max}=v_{y0}\left(\frac{v_{y0}}{g}\right)-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{v_{y0}}{g}\right)^{2} =\frac{v_{y0}^{2}}{2g}.
Também é comum usar a outra relação cinemática que dá diretamente
v_{y}^{2}=v_{y0}^{2}-2g\,\Delta y,
colocando v_{y}=0 no topo, chega-se à mesma fórmula \Delta y = v_{y0}^{2}/(2g). Aqui \Delta y é o ganho de altura desde o lançamento até o topo.

Passo 5

Cálculo numérico da altura máxima.
Substituo v_{y0}=4,0 e g=9,8 na fórmula
h_{\max}=\frac{v_{y0}^{2}}{2g}=\frac{(4,0)^{2}}{2\cdot 9,8}=\frac{16}{19,6}.
Faço a divisão: 16\div 19,6\approx 0,816326. Arredondando com duas casas decimais (coerente com dados dados):
h_{\max}\approx 0,82\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Entendendo o movimento horizontal e o tempo total de voo.
Na direção horizontal não há aceleração (desprezando resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade permanece constante:
v_{x}(t)=v_{x0}.
A posição horizontal é
x(t)=v_{x0}\,t.
O alcance R é a posição horizontal quando o corpo volta ao solo. Como o lançamento e o pouso ocorrem na mesma altura (solo), o tempo total de voo T é o tempo de subida mais o de descida; por simetria (e pela equação do movimento vertical) vale
T=2\,t_{\text{subida}}=2\frac{v_{y0}}{g}.
Então o alcance é
R=v_{x0}\,T=v_{x0}\left(2\frac{v_{y0}}{g}\right)=\frac{2\,v_{x0}\,v_{y0}}{g}.
Aqui cada variável é: v_{x0} velocidade horizontal inicial, v_{y0} velocidade vertical inicial, g gravidade.

Passo 7

Cálculo do tempo total de voo e do alcance com números.
Primeiro o tempo total:
T=2\frac{v_{y0}}{g}=2\frac{4,0}{9,8}=\frac{8,0}{9,8}\approx 0,816326\\ \mathrm{s}.
Agora o alcance usando R=v_{x0}\,T:
R=5,0\cdot 0,816326\approx 4,08163\\ \mathrm{m}.
Arredondando com duas casas decimais:
R\approx 4,08\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) h_{\max}\approx 0,82\\ \mathrm{m}
(b) R\approx 4,08\\ \mathrm{m}

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