Um corpo de massa
é lançado obliquamente, a partir do solo, sem girar. O valor da componente vertical da velocidade, no instante do lançamento, é
e o valor da componente horizontal é
. Supondo que o corpo esteja sujeito exclusivamente à ação da gravidade, determine:
a) a altura máxima atingida;
b) o alcance.
a) a altura máxima atingida;
b) o alcance.
Passo 1
O enunciado dá um corpo lançado obliquamente (sem giro) a partir do solo e pede duas coisas:
a) a altura máxima atingida;
b) o alcance horizontal (distância horizontal percorrida até voltar ao solo).
a) a altura máxima atingida;
b) o alcance horizontal (distância horizontal percorrida até voltar ao solo).
Informações fornecidas (vou listar tudo o que usaremos):
- massa do corpo:
(não influencia no movimento quando só a gravidade age, mas está no enunciado); - componente vertical da velocidade inicial:
; - componente horizontal da velocidade inicial:
; - supondo apenas a gravidade atuando, tomo
.
O que precisamos encontrar: a altura máxima
e o alcance
.
Passo 2
Entendendo o movimento vertical (passo a passo didático).
Quando só a gravidade atua, a componente vertical da velocidade varia com o tempo segundo a equação cinemática básica
Quando só a gravidade atua, a componente vertical da velocidade varia com o tempo segundo a equação cinemática básica
onde
é a velocidade vertical num instante
,
é a velocidade vertical inicial e
é a aceleração da gravidade (positiva aqui, subtraímos porque a gravidade reduz a velocidade vertical para cima).
O corpo atinge a altura máxima quando a velocidade vertical passa por zero (o corpo deixa de subir e começa a descer). Portanto o instante de subida máxima satisfaz
O corpo atinge a altura máxima quando a velocidade vertical passa por zero (o corpo deixa de subir e começa a descer). Portanto o instante de subida máxima
Resolvendo para
obtemos
Passo 3
Cálculo do tempo até o topo com os números dados.
Substituindo e
:
Substituindo
Faço a divisão passo a passo:
cabe em
aproximadamente
. Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Fórmula para a altura máxima (explicação e derivação curta e clara).
Posso usar a equação do deslocamento vertical
Posso usar a equação do deslocamento vertical
onde
é a altura em relação ao solo no tempo
. A altura máxima é
avaliada em
. Substituindo
obtém-se a forma conhecida
Também é comum usar a outra relação cinemática que dá diretamente
colocando
no topo, chega-se à mesma fórmula
. Aqui
é o ganho de altura desde o lançamento até o topo.
Passo 5
Cálculo numérico da altura máxima.
Substituo e
na fórmula
Substituo
Faço a divisão:
. Arredondando com duas casas decimais (coerente com dados dados):
Passo 6
Entendendo o movimento horizontal e o tempo total de voo.
Na direção horizontal não há aceleração (desprezando resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade permanece constante:
Na direção horizontal não há aceleração (desprezando resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade permanece constante:
A posição horizontal é
O alcance
é a posição horizontal quando o corpo volta ao solo. Como o lançamento e o pouso ocorrem na mesma altura (solo), o tempo total de voo
é o tempo de subida mais o de descida; por simetria (e pela equação do movimento vertical) vale
Então o alcance é
Aqui cada variável é:
velocidade horizontal inicial,
velocidade vertical inicial,
gravidade.
Passo 7
Cálculo do tempo total de voo e do alcance com números.
Primeiro o tempo total:
Primeiro o tempo total:
Agora o alcance usando
:
Arredondando com duas casas decimais:
Resposta
(a)
(b)
(b)