A copper conductor has a diameter of 0.6 in and it is 1200 ft long. Assume that it carries a total de current of 50A. (a) Find the total resistance of the conductor. (b) What current density exists in it? (c) What is the de voltage between the conductor ends? (d) How much power is dissipated in the wire? Am, 0.0346 \Omega ; 2.74 \times 10^{5} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} ; 1.729 \mathrm{~V} ; 86.4 \mathrm{~W}

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, só isso por enquanto. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
\text{diâmetro } d = 0,6\\ \text{in}â
\text{comprimento } L = 1200\\ \text{ft}
\text{corrente total } I = 50\\ \text{A}
Perguntas que o enunciado pede:
  • (a) Encontrar a resistência total do condutor.
  • (b) Determinar a densidade de corrente existente nele.
  • (c) Qual a diferença de potencial (tensão) entre as extremidades do condutor.
  • (d) Quanto de potência é dissipada no fio.

Passo 2

Converter unidades para o SI e calcular a área da seção transversal (essa parte é importante e sempre aparece em provas):
Primeiro converto o diâmetro de polegadas para metros:
1\\ \text{in} = 0,0254\\ \text{m},\quad d = 0,6\times0,0254 = 0,01524\\ \text{m}
Raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{0,01524}{2} = 0,00762\\ \text{m}
Área da seção transversal (círculo):
A = \pi r^{2} = \pi (0,00762)^{2}
Faço a conta explicando passo a passo: r^{2}=(0,00762)^{2}=5,807\times10^{-5}. Então
A = \pi\times5,807\times10^{-5}=1,824\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
Agora converto o comprimento de pés para metros:
1\\ \text{ft}=0,3048\\ \text{m},\quad L=1200\times0,3048=365,76\\ \text{m}.

Passo 3

Para calcular a resistência total usamos a fórmula que relaciona resistividade do material, comprimento e área:
R=\frac{\rho L}{A}.
Explicação didática: \rho é a resistividade do material (medida de quanto o material “resiste” ao fluxo de corrente por unidade de comprimento e área). L é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal. Quanto maior L ou menor A, maior a resistência — isso faz sentido fisicamente.
Preciso de um valor para a resistividade do cobre; uso o valor padrão próximo à temperatura ambiente:
\rho_{\text{Cu}}=1,726\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}.
Substituindo:
\rho L = 1,726\times10^{-8}\times365,76 = 6,313\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\text{m}^{2}.
Divido pela área:
R=\frac{6,313\times10^{-6}}{1,824\times10^{-4}}=0,0346\\ \Omega.
Interpretação rápida: é uma resistência pequena porque o condutor é grosso e relativamente curto em termos elétricos.

Passo 4

Agora a densidade de corrente. Definição e fórmula: a densidade de corrente \mathbf{J} (ou simplesmente J quando estamos com módulo e sentido uniformes) é a corrente por unidade de área:
J=\frac{I}{A}.
Isso é útil para saber quão “concentrada” a corrente está no material — correntes muito altas por área pequena podem superaquecer o fio.
Substituindo:
J=\frac{50}{1,824\times10^{-4}}=2,742\times10^{5}\\ \text{A}/\text{m}^{2}.
Modo de pensar: dividi a corrente total pela área que ela “atua”. Resultado em \text{A}/\text{m}^{2}.

Passo 5

Queda de tensão entre as extremidades (diferença de potencial): aplico a lei de Ohm para o condutor inteiro:
V=IR.
Explicação: a lei de Ohm diz que a tensão necessária para forçar a corrente I através de uma resistência R é V=IR.
Substituindo:
V=50\times0,0346=1,729\\ \text{V}.

Passo 6

Potência dissipada no fio: posso usar duas fórmulas equivalentes, explico as duas e uso uma para calcular.
  • P=VI (potência elétrica é tensão vezes corrente).
  • Usando V=IR, temos P=I^{2}R (muito usada para perdas por efeito Joule em resistores).
Calculo com P=I^{2}R:
P=50^{2}\times0,0346=2500\times0,0346=86,4\\ \text{W}.
Interpretação: essa é a potência transformada em calor no condutor.

Passo 7

Resumo rápido de como usar esses passos na prova: (i) converta unidades para o SI; (ii) calcule A se o fio for cilíndrico; (iii) use R=\rho L/A com a resistividade do material; (iv) calcule J=I/A; (v) ache V=IR e P=I^{2}R. Esses são os comandos básicos que quase sempre resolvem problemas assim.

Resposta

R=0,0346\\ \Omega
J=2,74\times10^{5}\\ \text{A}/\text{m}^{2}
V=1,729\\ \text{V}
P=86,4\\ \text{W}

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