Find the magnitude of the current density in a sample of silver for which
and
-s if:
(c) the sample is a cube 2.5 mm on a side having a voltage of 0.4 mV between opposite faces;
(c) the sample is a cube 2.5 mm on a side having a voltage of 0.4 mV between opposite faces;
Passo 1
O enunciado pede a magnitude da densidade de corrente elétrica na amostra de prata, sabendo que a condutividade é
e a mobilidade é
. A amostra é um cubo de aresta
e a diferença de potencial entre faces opostas é
.\n\nDados fornecidos (todos em SI quando apropriado):\n\n
\n\n
\n\nAresta do cubo:
\n\nTensão aplicada entre faces opostas:
\n\nO que se pede: a magnitude da densidade de corrente elétrica
(em
) sob essas condições.
Passo 2
Conceito e fórmula principal que vamos usar: a forma diferencial da Lei de Ohm relaciona densidade de corrente elétrica
com o campo elétrico
pela condutividade
:
Aqui
é a densidade de corrente (vetor) com unidade
,
é a condutividade elétrica com unidade
e
é o campo elétrico em
. Para a magnitude, basta usar
Breve comentário didático: a condutividade
mede quanto material conduz corrente; um
maior implica mais corrente para o mesmo campo elétrico. A mobilidade
relaciona a velocidade de arraste dos portadores com o campo através de
e está ligada a
pela relação
(onde
é a densidade de portadores e
a carga elementar). Aqui não precisamos calcular
, porque
já foi dado.
Passo 3
Determinar o campo elétrico
na amostra. Se a tensão
é aplicada entre faces opostas separadas por distância
e o campo for aproximadamente uniforme, então
Agora substituímos os valores convertidos para SI:
Calculando:
Explicação do cálculo: dividimos
por
(os
cancelam), obtendo
.
Passo 4
Calcular a densidade de corrente usando
. Substituindo
e
:
Fazendo a multiplicação:
Verificação de unidades:
, que é a unidade correta para densidade de corrente.
Passo 5
Curiosidade útil (checagem usando a mobilidade): a velocidade de arraste dos portadores seria
Isso dá uma ideia da ordem de grandeza da velocidade dos elétrons sob esse campo fraco; serve como uma checagem física de que o resultado é razoável.