Find the magnitude of the current density in a sample of silver for which \sigma=6.17 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} and \mu_{r}=0.0056 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V}-s if:
(c) the sample is a cube 2.5 mm on a side having a voltage of 0.4 mV between opposite faces;

Passo 1

O enunciado pede a magnitude da densidade de corrente elétrica na amostra de prata, sabendo que a condutividade é \sigma=6,17\times10^{7}\\ \mathrm{S/m} e a mobilidade é \mu_{r}=0,0056\\ \mathrm{m^{2}/(V\! \cdot s)}. A amostra é um cubo de aresta \,2,5\\ \mathrm{mm}\, e a diferença de potencial entre faces opostas é \,0,4\\ \mathrm{mV}.\n\nDados fornecidos (todos em SI quando apropriado):\n\n \sigma = 6,17\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}\n\n \mu_{r} = 0,0056\\ \mathrm{m^{2}/(V\! \cdot s)}\n\nAresta do cubo: L = 2,5\\ \mathrm{mm} = 2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\n\nTensão aplicada entre faces opostas: V = 0,4\\ \mathrm{mV} = 0,4\times10^{-3}\\ \mathrm{V}\n\nO que se pede: a magnitude da densidade de corrente elétrica J (em \mathrm{A/m^{2}}) sob essas condições.

Passo 2

Conceito e fórmula principal que vamos usar: a forma diferencial da Lei de Ohm relaciona densidade de corrente elétrica \mathbf{J} com o campo elétrico \mathbf{E} pela condutividade \sigma:
\mathbf{J}=\sigma\,\mathbf{E}.
Aqui \mathbf{J} é a densidade de corrente (vetor) com unidade \mathrm{A/m^{2}}, \sigma é a condutividade elétrica com unidade \mathrm{S/m}=(\mathrm{A}/\mathrm{V})/\mathrm{m} e \mathbf{E} é o campo elétrico em \mathrm{V/m}. Para a magnitude, basta usar
J=\sigma\,E.
Breve comentário didático: a condutividade \sigma mede quanto material conduz corrente; um \sigma maior implica mais corrente para o mesmo campo elétrico. A mobilidade \mu_{r} relaciona a velocidade de arraste dos portadores com o campo através de v_{\text{d}}=\mu_{r}E e está ligada a \sigma pela relação \sigma = n q \mu_{r} (onde n é a densidade de portadores e q a carga elementar). Aqui não precisamos calcular n, porque \sigma já foi dado.

Passo 3

Determinar o campo elétrico E na amostra. Se a tensão V é aplicada entre faces opostas separadas por distância L e o campo for aproximadamente uniforme, então
E=\frac{V}{L}.
Agora substituímos os valores convertidos para SI:
V=0,4\times10^{-3}\\ \mathrm{V},\qquad L=2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calculando:
E=\frac{0,4\times10^{-3}}{2,5\times10^{-3}}=0,16\\ \mathrm{V/m}.
Explicação do cálculo: dividimos 0,4 por 2,5 (os 10^{-3} cancelam), obtendo 0,16.

Passo 4

Calcular a densidade de corrente usando J=\sigma E. Substituindo \sigma e E:
J = \left(6,17\times10^{7}\right)\times 0,16\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Fazendo a multiplicação:
J = 9,872\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Verificação de unidades: \mathrm{S/m}\times\mathrm{V/m} = (\mathrm{A/V})/\mathrm{m}\times\mathrm{V/m} = \mathrm{A/m^{2}}, que é a unidade correta para densidade de corrente.

Passo 5

Curiosidade útil (checagem usando a mobilidade): a velocidade de arraste dos portadores seria
v_{\text{d}}=\mu_{r}E = 0,0056\times0,16 = 8,96\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Isso dá uma ideia da ordem de grandeza da velocidade dos elétrons sob esse campo fraco; serve como uma checagem física de que o resultado é razoável.

Resposta

9,872\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}}

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