Find the magnitude of the current density in a sample of silver for which \sigma=6.17 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} and \mu_{r}=0.0056 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V}-s if:
(d) the sample is a cube 2.5 mm on a side carrying a total current of 0.5 A .

Passo 1

Identificar o que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
Dado:\n
\sigma = 6{,}17\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}\n
\mu_{r} = 0{,}0056\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}\n
o cubo tem aresta \displaystyle a = 2{,}5\\ \mathrm{mm}\n
corrente total transportada \displaystyle I = 0{,}5\\ \mathrm{A}\n
Pergunta: Calcular a magnitude da densidade de corrente no material (isto é, o valor de J).\n
Observação: o enunciado pede só J; os outros parâmetros ( \sigma,\mu_{r}) servem para relacionamentos físicos que podemos usar para interpretar o resultado (vou mostrar isso depois).

Passo 2

Entender a definição e a fórmula útil para este caso.\n
Definição/conceito: a densidade de corrente vetorial \mathbf{J} representa a corrente por unidade de área perpendicular ao fluxo. Quando a corrente está uniformemente distribuída numa seção reta de área A, a magnitude da densidade de corrente é\n
J=\frac{I}{A},
onde \displaystyle I é a corrente total que atravessa a área e \displaystyle A é a área da seção transversal.\n
Aqui, assumimos corrente uniforme na seção do cubo (caso típico em problemas introdutórios). A área de seção transversal, se a corrente atravessa uma face do cubo, é simplesmente a área do quadrado de aresta a:\n
A=a^{2}.

Passo 3

Converter unidades para o SI e calcular a área.\n
Converter a aresta para metros:\n
a = 2{,}5\\ \mathrm{mm} = 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
Calcular a área da face:\n
A = a^{2} = \left(2{,}5\times10^{-3}\right)^{2}.\n
Elevar ao quadrado:\n
A = 2{,}5^{2}\times\left(10^{-3}\right)^{2} = 6{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a densidade de corrente usando J=I/A e mostrar o cálculo passo a passo.\n
Aplicando a fórmula:\n
J=\frac{I}{A}=\frac{0{,}5}{6{,}25\times10^{-6}}\\ \mathrm{A/m^{2}}.\n
Fazendo a divisão em notação científica: dividir 0{,}5 por 6{,}25 0{,}08, e ajustar potências de 10:\n
J = 0{,}08\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}} = 8{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}}.\n
Portanto a magnitude da densidade de corrente é \displaystyle 8{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 5

Contexto físico adicional (explicação didática usando \sigma e \mu_{r}): como interpretar \;J com as outras grandezas dadas.\n
Relação entre densidade de corrente e campo elétrico: \displaystyle \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}. Assim, o módulo do campo elétrico necessário para produzir essa J é\n
E=\frac{J}{\sigma}.\n
Calculemos E só para intuição (opcional):\n
E=\frac{8{,}0\times10^{4}}{6{,}17\times10^{7}}\\ \mathrm{V/m}\approx 1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}.\n
Relação entre velocidade de deriva e mobilidade: \displaystyle v_{d}=\mu_{r}E. Com \mu_{r}=0{,}0056\\ \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} obtemos\n
v_{d}=0{,}0056\times1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}\approx 7{,}3\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.\n
Isto mostra que, apesar da corrente macroscópica ser de 0{,}5\\ \mathrm{A}, a velocidade de deriva dos portadores de carga é muito pequena — um detalhe físico interessante que ajuda a entender a escala dos fenômenos em metais.

Resposta

\displaystyle 8{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}}

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