O coração humano atua como uma bomba que impulsiona o sangue através do sistema circulatório. Suponha que o sangue (densidade rho=1060 kg / m^3 ) seja bombeado da aorta para uma arteríola. Despreze as perdas de carga localizadas e considere os seguintes dados:
Diâmetro da aorta: D1 =25 mm
Diâmetro da arteríola: D2 =5 mm
Vazão volumétrica do sangue: Q=5 times 10^-4 m^3 / s
Diferença de altura entre os pontos: z2-z1=0,5 m
Rugosidade das paredes do vaso: varepsilon=0,0002 m
Comprimento da aorta: L 1=0,3 m
Comprimento da arteríola: L 2=0,6 m
Determine a pressão gerada pelo coração para manter o fluxo sanguíneo, considerando que a velocidade e a pressão atmosférica na arteríola representam a condição de saída.

Passo 1

Beleza, então o que o exercício tá pedindo é: “Qual a pressão que o coração precisa gerar na aorta (ponto 1) pra empurrar o sangue até uma arteríola (ponto 2) considerando atrito nas paredes e a diferença de altura de 0,5 m?”
Conteúdo: dinâmica de fluídos – vamos usar a equação de Bernoulli entre dois pontos, somando as perdas de carga (Darcy–Weisbach). Para isso precisamos de:
  • Velocidades em cada vaso;
  • Número de Reynolds pra ver se o fluxo é turbulento;
  • Fator de atrito (via fórmula de Swamee–Jain);
  • Cálculo das perdas de carga ;
  • Aplicar Bernoulli com elevação .

Passo 2

Calcular as velocidades médias
Área da aorta (D₁=25 mm=0,025 m):
A1 = pi D1^24 = pi (0,025)^24 approx 4,91times10^-4,m^2
v1 = QA1 = 5times10^-44,91times10^-4 approx 1,02;m/s
Área da arteríola (D₂=5 mm=0,005 m):
A2 = pi (0,005)^24 approx 1,96times10^-5,m^2
v2 = 5times10^-41,96times10^-5 approx 25,5;m/s

Passo 3

Número de Reynolds e fator de atrito
Escolhemos viscosidade dinâmica típica do sangue Re1=v1 D1nuapprox1,02times0,0253,77times10^-6approx6,8times10^3 , então Re2=25,5times0,0053,77times10^-6approx3,4times10^4 .
f = 0,25g[log10(varepsilon3,7D + 5,74Re^0,9)g]^-2
f1approx0,044
Ambos turbulentos. Usamos a fórmula de Swamee–Jain:
f2approx0,066
com rugosidade m.
Para aorta:
Para arteríola:

Passo 4

Perdas de carga (Darcy–Weisbach)
hLi = fi ,LiDi,vi^22g, g=9,81;m/s^2
Para aorta ( hL1 approx 0,044;0,30,025;1,02^22cdot9,81approx0,028;m m):
hL2 approx 0,066;0,60,005;25,5^22cdot9,81approx263;m
Para arteríola ( m):

Passo 5

Bernoulli entre aorta (1) e arteríola (2), tomando pressão de saída como atmosférica ( P1rho g + v1^22g + z1 = 0 + v2^22g + z2 + hL1 + hL2 de referência) e incluindo P1rho g = v2^22g - v1^22g + (z2-z1) + hL1 + hL2 m:
v2^22gapprox33,2,; v1^22gapprox0,053,; De
Isolando P1rho gapprox33,2 - 0,053 + 0,5 + 0,028 + 263 approx296,7;m :
P1 = rho g times 296,7 approx1060cdot9,81cdot296,7 approx3,1times10^6;Pa
Numericamente:
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Resposta

A pressão que o coração precisa gerar na aorta é cerca de
boxedP1 approx 3,1times10^6;Pa;(31;bar)

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