2- [2,0] A velocidade de um corpo em queda livre é função da aceleração da gravidade (g) e altura de queda (h). Determinar uma função adimensional referente ao fenômeno.

Passo 1

Então, a questão diz que a velocidade v de um corpo em queda livre depende só da aceleração da gravidade g e da altura de queda h. A parada aqui é usar Análise Dimensional (teoria de Buckingham π) pra achar uma função adimensional (ou seja, sem unidades) que combine essas três grandezas. Vamos precisar saber as dimensões de v, g e h e aplicar o teorema de Buckingham π passo a passo.

Passo 2

Primeiro, anota as variáveis e suas dimensões:
  • v: velocidade ⇒ dimensão [v]=L,T^-1
  • g: aceleração ⇒ dimensão [g]=L,T^-2
  • h: comprimento/altura ⇒ dimensão [h]=L
Aqui L é comprimento e T é tempo.

Passo 3

O teorema de Buckingham diz que, com n=3 variáveis ( v,g,h) e k=2 dimensões fundamentais ( L,T), teremos n-k=1 grupo adimensional (chamado π). Então só precisamos montar um π que seja função de v, g e h.

Passo 4

Escolhemos formar
pi = v,g^a,h^b
e exigimos que na combinação acima as potências de L e T zere. Vamos escrever as dimensões:
[v,g^a,h^b] = (L,T^-1),(L,T^-2)^a,(L)^b = L^1+a+b;T^-1-2a
Para ficar adimensional, os expoentes de L e de T têm que ser zero:
  1. Exponente de T: -1 - 2a = 0 ;Rightarrow; a = -tfrac12.
  2. Exponente de L: 1 + a + b = 0 ;Rightarrow; 1 - tfrac12 + b = 0 ;Rightarrow; b = -tfrac12.

Passo 5

Substituindo a=-tfrac12 e b=-tfrac12 em pi, vem
pi = v,g^-1/2,h^-1/2 ;=;vraizg,h,

Resposta

A função adimensional que descreve o fenômeno é
boxedpi = vraizg,h,

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