6-Uma corda com 3 m de comprimento e densidade mássica 0,0025 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} está fixa nas duas extremidades. Uma das suas frequências de ressonância é 252 Hz . A ressonância seguinte a esta ocorre a 336 Hz . Achar (a) a frequência fundamental, (b) os harmônicos correspondentes às frequências 252 Hz e 336 Hz e (c) a tensão na corda.
(a) 84 Hz , (b) 3^{\circ} e 4^{\circ}, (c) 635 N .
L=3 \mathrm{~m} ; \quad \mu=0,0025 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}} ; f_{n}=252 \mathrm{~Hz} ; f_{n+1}=336 \mathrm{~Hz}
a) f_{1}=f_{n+1}-f_{n}=84 \mathrm{~Hz}
b) \frac{252}{84}=3 ; \frac{336}{84}=4
c) v=\frac{\lambda_{n}}{T_{n}}=\lambda_{n} f_{n}
Paran =1 ; \lambda_{1}=\frac{2 L}{1}=6 m
\text { Se } f_{1}=84 H z ; v=\lambda_{1} f_{1}=6.84=504 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}
Ou f_{n}=n \frac{v}{2 L}=n f_{1}
\operatorname{Paran}=1 ; v=f_{1} .2 L=84.2 .3=504 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}
Cont. (6)
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}} ; \quad F=v^{2} \mu=(504)^{2} \cdot 0,0025=635 \mathrm{~N}'

Passo 1

Resumindo o enunciado: uma corda de comprimento L=3 m e densidade linear \mu=0,0025 kg/m está fixa em ambas as extremidades. Suas frequências de ressonância obedecem à fórmula
f_n = \frac{n\,v}{2L},\quad n=1,2,3,\dots
onde v é a velocidade de propagação da onda na corda. Além disso,
v = \sqrt{\frac{F}{\mu}},
sendo F a tensão. Foi dado que dois modos consecutivos têm frequências f_n=252 Hz e f_{n+1}=336 Hz. Precisamos achar:
(a) a frequência fundamental f_1,
(b) quais harmônicos correspondem a 252 Hz e 336 Hz,
(c) a tensão F.

Passo 2

Em modos consecutivos de uma corda fixa vale
f_{n+1}-f_n = \frac{v}{2L}.
Mas \tfrac{v}{2L} é exatamente a frequência fundamental f_1. Logo,
f_1 = f_{n+1} - f_n = 336 - 252 = 84\text{ Hz}.

Passo 3

Cada modo satisfaz f_n = n\,f_1. Portanto, para f_n=252 Hz:
n = \frac{252}{84} = 3,
e para f_{n+1}=336 Hz:
n+1 = \frac{336}{84} = 4.
Isto é, trata-se do terceiro e do quarto harmônicos.

Passo 4

Primeiro calculamos a velocidade da onda:
v = 2\,L\,f_1 = 2\cdot3\cdot84 = 504\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Em seguida, usando v = \sqrt{F/\mu}, obtemos
F = \mu\,v^2 = 0{,}0025 \times (504)^2 \approx 635\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) 84 Hz
(b) terceiro e quarto harmônicos
(c) 635 N

Exercícios relacionados