4-Ondas de comprimento de onda 35 cm e amplitude 1,2 \mathrm{~cm} deslocam-se numa corda de 15 m que tem massa de 80 g e a tensão de 12 N . (a) Qual a energia total das ondas na corda? (b) Achar a potência transmitida num dado ponto da corda.
(a) 4,15 \mathrm{~J}, (b) 13,2 \mathrm{~W}.
\begin{aligned} & \qquad \begin{array}{l} \lambda=35 \mathrm{~cm}=35 \cdot 10^{-2} m, \quad A=1,2 \mathrm{~cm}=1,2 \cdot 10^{-2} \mathrm{~m}, \quad L=15 \mathrm{~m}, \\\ m=80 \mathrm{~g}=80 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kg}, \quad F=12 \mathrm{~N} \end{array} \\\ & \qquad \Delta E_{m}=\frac{1}{2} w^{2} A^{2} \Delta m=\frac{1}{2} w^{2} A^{2} \mu \Delta x \\\ & \text { a) } \quad \Delta E_{m}=\frac{1}{2} w^{2} A^{2} \mu L=\frac{1}{2}(851,5)^{2} \cdot\left(1,2 \cdot 10^{-2}\right)^{2} \cdot 5,3 \cdot 10^{-3} \cdot 15=4,15 \mathrm{~J} \\\ & w=2 \pi f=2 \pi \cdot 135,5=851,5 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}} \quad f=\frac{v}{\lambda}=\frac{47,4}{35 \cdot 10^{-2}}=135,5 \mathrm{~Hz} \\\ & v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}=\sqrt{\frac{12}{5,3 \cdot 10^{-3}}}=47,4 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \quad \mu=\frac{80 \cdot 10^{-3}}{15}=5,3 \cdot 10^{-3} \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}} \end{aligned}
Cont. (4)
b) P=\frac{1}{2} w^{2} A^{2} \mu v=\frac{1}{2}(851,5)^{2} \cdot\left(1,2 \cdot 10^{-2}\right)^{2} \cdot 5,3 \cdot 10^{-3} \cdot 47,4=13,2 W'}, {

Passo 1

O enunciado descreve ondas na corda com comprimento de onda \lambda=35\text{ cm}, amplitude A=1{,}2\text{ cm}, comprimento da corda L=15\text{ m}, massa total m=80\text{ g} e tensão F=12\text{ N}. Pede-se
(a) a energia total armazenada pelas ondas na corda,
(b) a potência média transmitida através de um ponto da corda.
Para isso, vamos usar:
– densidade linear de massa \mu=m/L,
– velocidade de propagação v=\sqrt{F/\mu},
– frequência f=v/\lambda e pulsação \omega=2\pi f,
– energia total
E=\tfrac12\,\mu\,L\,A^2\,\omega^2,
– potência média
P=\tfrac12\,\mu\,v\,A^2\,\omega^2.

Passo 2

Calcular \mu, v, f e \omega.
\mu=\frac{m}{L}=\frac{80\times10^{-3}}{15}=5{,}33\times10^{-3}\,\frac{\text{kg}}{\text{m}},
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}} =\sqrt{\frac{12}{5{,}33\times10^{-3}}} \approx47{,}4\;\frac{\text{m}}{\text{s}},
f=\frac{v}{\lambda} =\frac{47{,}4}{0{,}35}\approx135{,}5\;\text{Hz}, \quad \omega=2\pi f\approx2\pi\cdot135{,}5\approx851{,}5\;\frac{\text{rad}}{\text{s}}.

Passo 3

Escrever a fórmula da energia total e substituir os valores:
E=\frac12\,\mu\,L\,A^2\,\omega^2.

Passo 4

Fazendo as contas:
E =\tfrac12\,(5{,}33\times10^{-3})(15)(1{,}2\times10^{-2})^2(851{,}5)^2 \approx4{,}15\;\text{J}.

Passo 5

Escrever a fórmula da potência média e substituir:
P=\frac12\,\mu\,v\,A^2\,\omega^2.

Passo 6

Calculando a potência:
P =\tfrac12\,(5{,}33\times10^{-3})(47{,}4)(1{,}2\times10^{-2})^2(851{,}5)^2 \approx13{,}2\;\text{W}.

Resposta

(a) 4,15 J
(b) 13,2 W

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