Uma corda esticada tem densidade linear
e tensão
.
(a) Determine a velocidade de propagação da onda.
(b) Escreva a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x com amplitude 2 cm e frequência 120 Hz .
(a) Determine a velocidade de propagação da onda.
(b) Escreva a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x com amplitude 2 cm e frequência 120 Hz .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a velocidade de propagação de uma onda numa corda, e (b) a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de
com determinada amplitude e frequência. Os dados fornecidos são:
Vou usar esses dados para (a) calcular a velocidade
e (b) montar a equação
de uma onda senoidal que se propaga para
.
Passo 2
Fórmula que liga tensão, densidade linear e velocidade de onda numa corda esticada:
Explicando a fórmula:
é a velocidade da onda (em
),
é a tensão na corda (em
), e
é a massa por unidade de comprimento da corda (em
). A razão tem unidades
, e a raiz dá
, como esperamos. Esta fórmula é padrão para ondas transversais numa corda ideal.
Passo 3
Cálculo numérico de
. Substituímos
e
na fórmula:
Faço as contas com calma:
logo
Verificação rápida: as unidades batem e o valor faz sentido para uma corda tensa.
Passo 4
Agora a equação geral de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de
(convenção padrão) é
onde:
-
é o deslocamento transverse (em metros) no ponto e tempo ; -
é a amplitude (em metros); -
é o número de onda (em ); -
é a frequência angular (em ); -
é a fase inicial (em radianos).
Vou escolherporque o enunciado não especifica fase; isso é habitualmente aceitável.
Passo 5
Calcular a frequência angular
. A relação entre frequência
(em Hz) e
é
Substituindo
:
Passo 6
Calcular o número de onda
. A relação entre
,
e
é
Usando
e
:
Também podemos obter o comprimento de onda
por
e checar
, consistência confirmada.
Passo 7
Converter a amplitude para metros e montar a equação final. A amplitude dada é
, isto é
Substituindo
,
e
na forma escolhida (
):
onde
está em metros,
em metros e
em segundos. (Se preferir
em centímetros, escrevemos
com
em
.)
Passo 8
Pequena verificação final: calculo
para confirmar:
que é o valor obtido em (a). Tudo consistente — missão cumprida!
Resposta
(a)
(b) (com
em metros)
(b)