Uma corda esticada tem densidade linear \mu=4,0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} e tensão \mathrm{T}=40 \mathrm{~N}.
(a) Determine a velocidade de propagação da onda.
(b) Escreva a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x com amplitude 2 cm e frequência 120 Hz .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a velocidade de propagação de uma onda numa corda, e (b) a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x com determinada amplitude e frequência. Os dados fornecidos são:
\mu = 4,0\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m},
T = 40\\ \mathrm{N},
\text{amplitude } A = 2\\ \mathrm{cm},
\text{frequência } f = 120\\ \mathrm{Hz}.ê
Vou usar esses dados para (a) calcular a velocidade v e (b) montar a equação y(x,t) de uma onda senoidal que se propaga para +x.

Passo 2

Fórmula que liga tensão, densidade linear e velocidade de onda numa corda esticada:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Explicando a fórmula: v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}), T é a tensão na corda (em \mathrm{N}), e \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (em \mathrm{kg/m}). A razão tem unidades \mathrm{N}/(\mathrm{kg/m}) = (\mathrm{kg\,m/s^2})/(\mathrm{kg/m}) = \mathrm{m^2/s^2}, e a raiz dá \mathrm{m/s}, como esperamos. Esta fórmula é padrão para ondas transversais numa corda ideal.

Passo 3

Cálculo numérico de v. Substituímos T e \mu na fórmula:
v = \sqrt{\frac{40}{4,0\times 10^{-3}}}.
Faço as contas com calma:
\frac{40}{4,0\times 10^{-3}}=\frac{40}{0,004}=10000,
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v=\sqrt{10000}=100\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida: as unidades batem e o valor faz sentido para uma corda tensa.

Passo 4

Agora a equação geral de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x (convenção padrão) é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • y(x,t) é o deslocamento transverse (em metros) no ponto x e tempo t;
  • A é a amplitude (em metros);
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m});
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s});
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
    Vou escolher \varphi=0 porque o enunciado não especifica fase; isso é habitualmente aceitável.

Passo 5

Calcular a frequência angular \omega. A relação entre frequência f (em Hz) e \omega é
\omega = 2\pi f.
Substituindo f=120\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot 120 = 240\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular o número de onda k. A relação entre k, \omega e v é
k=\frac{\omega}{v}.
Usando \omega=240\pi\\ \mathrm{rad/s} e v=100\\ \mathrm{m/s}:
k=\frac{240\pi}{100}=2,4\pi\\ \mathrm{rad/m}.
Também podemos obter o comprimento de onda \lambda por
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2,4\pi}=\frac{2}{2,4}=0,833\ldots\\ \mathrm{m},
e checar v=f\lambda=120\times 0,833\ldots=100\\ \mathrm{m/s}, consistência confirmada.

Passo 7

Converter a amplitude para metros e montar a equação final. A amplitude dada é 2\\ \mathrm{cm}, isto é
A=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
Substituindo A, k e \omega na forma escolhida ( \varphi=0):
y(x,t)=0,02\sin\!\bigl(2,4\pi x - 240\pi t\bigr),
onde y está em metros, x em metros e t em segundos. (Se preferir y em centímetros, escrevemos y(x,t)=2\sin(2,4\pi x-240\pi t) com y em \mathrm{cm}.)

Passo 8

Pequena verificação final: calculo v=\omega/k para confirmar:
\frac{\omega}{k}=\frac{240\pi}{2,4\pi}=100\\ \mathrm{m/s},
que é o valor obtido em (a). Tudo consistente — missão cumprida!

Resposta

(a) v=100\\ \mathrm{m/s}
(b) y(x,t)=0,02\sin\!\bigl(2,4\pi x - 240\pi t\bigr) (com y em metros)

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