Um oscilador massa-mola tem
, amortecimento
, e é submetido a uma força externa
.
(a) Determine a amplitude da oscilação em função de
.
(b) Calcule o valor de
que maximiza a amplitude.
(a) Determine a amplitude da oscilação em função de
(b) Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado dá um oscilador massa-mola amortecido forçado com os seguintes dados:
com
.
As perguntas são:
(a) Determinar a amplitude da oscilação em função de .
(b) Calcular o valor de que maximiza essa amplitude.
As perguntas são:
(a) Determinar a amplitude da oscilação em função de
(b) Calcular o valor de
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação do movimento para o regime forçado com amortecimento linear. A equação diferencial é
Aqui
é a aceleração (segunda derivada de
em relação ao tempo),
é a velocidade (primeira derivada), e
é a frequência angular da força externa. A solução geral tem uma parte transitória (que morre com o tempo devido ao amortecimento) e uma parte estacionária forçada. Para obter a amplitude estacionária, basta encontrar a solução particular periódica com a mesma frequência
.
Passo 3
Vamos procurar uma solução particular da forma
onde
e
são constantes que dependem de
. Essa forma é conveniente porque derivadas de senos e cossenos permanecem senos e cossenos da mesma frequência, permitindo comparar coeficientes.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação do passo 2:
Agrupando termos em
e
obtemos duas equações (porque os coeficientes de
e
devem coincidir à direita):
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Passo 6
Resolvemos esse sistema linear para
e
. Da segunda equação:
desde que
. Substituindo na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
e fatorando
:
Logo
E então
Passo 7
A amplitude da oscilação para a solução particular é
Substituindo
e
e fazendo a conta (observe que
) obtemos a forma padrão:
Vou explicitar o que cada símbolo significa:
é a amplitude estacionária quando a força externa tem frequência
;
é a amplitude da força (aqui
);
e
são mola e massa;
é o coeficiente de amortecimento.
Passo 8
Agora substituímos os valores numéricos dados para escrever
explicitamente:
Essa é a resposta do item (a): a amplitude como função de
.
Passo 9
Para o item (b) queremos o
que maximiza
. Como
, maximizar
é equivalente a minimizar o quadrado do denominador
É tecnicamente mais simples minimizar
que maximizar
.
Passo 10
Derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar extremos:
Fatorando
obtemos
Uma solução trivial é
(não é a ressonância útil aqui). A outra vem de
Passo 11
Resolvendo a equação do passo anterior para
:
Portanto a frequência que maximiza a amplitude (frequência de pico, ou ressonância amortecida) é
Esse resultado existe (é real) desde que
; caso contrário o pico máximo ocorre em
.
Passo 12
Agora substituímos os valores numéricos:
Logo
Isso mostra que a frequência de pico está ligeiramente abaixo da frequência natural não amortecida
, devido ao amortecimento.
Resposta
(a)
.\n
(b) .
(b)