Um oscilador massa-mola tem \mathrm{m}=0,5 \mathrm{~kg}, \mathrm{k}=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, amortecimento \mathrm{b}=1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e é submetido a uma força externa \mathrm{F}(\mathrm{t})=\mathrm{F} 0 \cos (\omega \mathrm{t}) \operatorname{com} \mathrm{F} 0=2,0 \mathrm{~N}.
(a) Determine a amplitude da oscilação em função de \omega.
(b) Calcule o valor de \omega que maximiza a amplitude.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola amortecido forçado com os seguintes dados:
m=0,5\\ \mathrm{kg},\qquad k=200\\ \mathrm{N/m},\qquad b=1,0\\ \mathrm{kg/s},\qquad F(t)=F_0\cos(\omega t),
com F_0=2,0\\ \mathrm{N}.
As perguntas são:
(a) Determinar a amplitude da oscilação em função de \omega.
(b) Calcular o valor de \omega que maximiza essa amplitude.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação do movimento para o regime forçado com amortecimento linear. A equação diferencial é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos(\omega t).
Aqui \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada de x em relação ao tempo), \dot{x} é a velocidade (primeira derivada), e \omega é a frequência angular da força externa. A solução geral tem uma parte transitória (que morre com o tempo devido ao amortecimento) e uma parte estacionária forçada. Para obter a amplitude estacionária, basta encontrar a solução particular periódica com a mesma frequência \omega.

Passo 3

Vamos procurar uma solução particular da forma
x_p(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
onde C e D são constantes que dependem de \omega. Essa forma é conveniente porque derivadas de senos e cossenos permanecem senos e cossenos da mesma frequência, permitindo comparar coeficientes.

Passo 4

Calculemos as derivadas de x_p:
\dot{x}_p(t)=-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t),
\ddot{x}_p(t)=-C\omega^2\cos(\omega t)-D\omega^2\sin(\omega t).

Passo 5

Substituímos \ddot{x}_p, \dot{x}_p e x_p na equação do passo 2:
m(-C\omega^2\cos\omega t - D\omega^2\sin\omega t)+b(-C\omega\sin\omega t + D\omega\cos\omega t)+k(C\cos\omega t + D\sin\omega t)=F_0\cos\omega t.
Agrupando termos em \cos\omega t e \sin\omega t obtemos duas equações (porque os coeficientes de \cos e \sin devem coincidir à direita):
coeficiente de \cos\omega t:
(k-m\omega^2)C + b\omega D = F_0,
coeficiente de \sin\omega t:
- b\omega C + (k-m\omega^2)D = 0.

Passo 6

Resolvemos esse sistema linear para C e D. Da segunda equação:
(k-m\omega^2)D = b\omega C \quad\Rightarrow\quad D=\frac{b\omega}{k-m\omega^2}\,C,
desde que k-m\omega^2\neq0. Substituindo na primeira equação:
(k-m\omega^2)C + b\omega\left(\frac{b\omega}{k-m\omega^2}C\right)=F_0.
Multiplicando ambos os lados por k-m\omega^2 e fatorando C:
\Big((k-m\omega^2)^2 + b^2\omega^2\Big)C = F_0(k-m\omega^2).
Logo
C=\frac{F_0(k-m\omega^2)}{(k-m\omega^2)^2 + b^2\omega^2}.
E então
D=\frac{b\omega}{k-m\omega^2}C=\frac{F_0\,b\omega}{(k-m\omega^2)^2 + b^2\omega^2}.

Passo 7

A amplitude da oscilação para a solução particular é
A(\omega)=\sqrt{C^2+D^2}.
Substituindo C e D e fazendo a conta (observe que C^2+D^2=\dfrac{F_0^2}{(k-m\omega^2)^2 + b^2\omega^2}) obtemos a forma padrão:
A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + b^2\omega^2}}.
Vou explicitar o que cada símbolo significa: A(\omega) é a amplitude estacionária quando a força externa tem frequência \omega; F_0 é a amplitude da força (aqui 2,0\\ \mathrm{N}); k e m são mola e massa; b é o coeficiente de amortecimento.

Passo 8

Agora substituímos os valores numéricos dados para escrever A(\omega) explicitamente:
A(\omega)=\frac{2,0}{\sqrt{\big(200-0,5\,\omega^2\big)^2 + \big(1,0\,\omega\big)^2}}.
Essa é a resposta do item (a): a amplitude como função de \omega.

Passo 9

Para o item (b) queremos o \omega que maximiza A(\omega). Como A(\omega)>0, maximizar A é equivalente a minimizar o quadrado do denominador
D(\omega)=(k-m\omega^2)^2 + b^2\omega^2.
É tecnicamente mais simples minimizar D(\omega) que maximizar A.

Passo 10

Derivamos D(\omega) em relação a \omega e igualamos a zero para encontrar extremos:
\frac{dD}{d\omega}=2(k-m\omega^2)(-2m\omega)+2b^2\omega=0.
Fatorando 2\omega obtemos
2\omega\Big(-2m(k-m\omega^2)+b^2\Big)=0.
Uma solução trivial é \omega=0 (não é a ressonância útil aqui). A outra vem de
-2m(k-m\omega^2)+b^2=0.

Passo 11

Resolvendo a equação do passo anterior para \omega^2:
2m^2\omega^2 = 2mk - b^2 \quad\Rightarrow\quad \omega^2 = \frac{2mk - b^2}{2m^2} = \frac{k}{m} - \frac{b^2}{2m^2}.
Portanto a frequência que maximiza a amplitude (frequência de pico, ou ressonância amortecida) é
\omega_{\max}=\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{2m^2}}.
Esse resultado existe (é real) desde que \dfrac{k}{m}>\dfrac{b^2}{2m^2}; caso contrário o pico máximo ocorre em \omega=0.

Passo 12

Agora substituímos os valores numéricos:
\frac{k}{m}=\frac{200}{0,5}=400,\qquad \frac{b^2}{2m^2}=\frac{1,0^2}{2(0,5)^2}=\frac{1}{2\cdot0,25}=2.
Logo
\omega_{\max}=\sqrt{400-2}=\sqrt{398}\approx 19,95\\ \mathrm{rad/s}.
Isso mostra que a frequência de pico está ligeiramente abaixo da frequência natural não amortecida \omega_0=\sqrt{k/m}=20\\ \mathrm{rad/s}, devido ao amortecimento.

Resposta

(a) \displaystyle A(\omega)=\frac{2,0}{\sqrt{\bigl(200-0,5\,\omega^2\bigr)^2+\bigl(1,0\,\omega\bigr)^2}}.\n
(b) \displaystyle \omega_{\max}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{2m^2}}=\sqrt{398}\approx 19,95\\ \mathrm{rad/s}.

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