Para o mesmo oscilador acima, determine o deslocamento de fase \varphi entre a força aplicada e o deslocamento do sistema para:
\omega=0,5 \omega_{0};

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o deslocamento de fase \varphi entre a força aplicada e o deslocamento do sistema quando \omega = 0,5\,\omega_{0}.
Informações dadas (explicitadas):
  • Foi pedido o deslocamento de fase para a frequência de excitação \omega = 0,5\,\omega_{0}.
  • Não foram dados valores numéricos para massa, amortecimento ou rigidez, então vamos obter uma expressão geral em função do coeficiente de amortecimento adimensional (razão de amortecimento) \zeta ou dos parâmetros m,c,k.
  • Consideramos o oscilador forçado amortecido padrão, com equação:
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_{0}\cos(\omega t).
A resolução começa agora.

Passo 2

Modelo e forma da solução de regime permanente.
  • Para a excitação harmônica \,F_{0}\cos(\omega t)\,, a solução de regime permanente tem a mesma frequência da força e pode ser escrita como
x(t) = X\cos(\omega t - \varphi),
onde X é a amplitude e \varphi é o deslocamento de fase entre a força e o deslocamento (a força é tomada como referência em fase zero: F_{0}\cos(\omega t)).
  • Nosso objetivo é achar \varphi em função dos parâmetros do sistema e de \omega.

Passo 3

Método prático: buscar uma solução particular da forma x_{p}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) e relacionar A e B com \varphi.
  • Derivadas:
\dot{x}_{p}(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t),
\ddot{x}_{p}(t) = -A\omega^{2}\cos(\omega t) - B\omega^{2}\sin(\omega t).
  • Substituindo na equação m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_{0}\cos(\omega t) e agrupando coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) obtemos o sistema linear para A e B:
A\,(k - m\omega^{2}) + B\,(c\omega) = F_{0},
B\,(k - m\omega^{2}) - A\,(c\omega) = 0.

Passo 4

Resolver o sistema para obter A e B.
  • Da segunda equação isolamos B:
B = \frac{A\,(c\omega)}{k - m\omega^{2}}.
  • Substituindo na primeira:
A\,(k - m\omega^{2}) + \frac{A\,(c\omega)^{2}}{k - m\omega^{2}} = F_{0}.
  • Colocando over comum:
A\;\frac{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}{k - m\omega^{2}} = F_{0},
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A = \frac{F_{0}\,(k - m\omega^{2})}{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}.
  • E então
B = \frac{F_{0}\,(c\omega)}{(k - m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}.

Passo 5

Relação entre A,B e o deslocamento de fase \varphi.
  • Se x(t)=X\cos(\omega t-\varphi), podemos usar a identidade
\cos(\omega t-\varphi)=\cos\varphi\cos(\omega t)+\sin\varphi\sin(\omega t).
Comparando com x_{p}=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) vemos que
\cos\varphi = \frac{A}{X},\qquad \sin\varphi = \frac{B}{X},
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\tan\varphi = \frac{B}{A}.
  • Portanto o deslocamento de fase é
\varphi = \arctan\!\bigg(\frac{B}{A}\bigg) = \arctan\!\bigg(\frac{c\omega}{k - m\omega^{2}}\bigg).
(Observação: a função \arctan devolve o ângulo no quadrante correto se você considerar o sinal de k-m\omega^{2} e de c\omega; para amortecimento positivo c>0 a expressão acima é a forma usual.)

Passo 6

Expressar \varphi em termos de \omega_{0} e da razão de amortecimento \zeta.
  • Definições úteis:
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \zeta=\frac{c}{2m\omega_{0}}.
  • Reescrevendo o argumento da tangente:
\frac{c\omega}{k - m\omega^{2}} = \frac{2m\omega_{0}\zeta\,\omega}{m(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})} = \frac{2\zeta\,( \omega/\omega_{0})}{1 - (\omega/\omega_{0})^{2}}.
  • Assim, em termos adimensionais (com r=\omega/\omega_{0}):
\varphi = \arctan\!\left(\frac{2\zeta r}{1-r^{2}}\right).

Passo 7

Aplicar \omega = 0,5\,\omega_{0}.
  • Aqui r=\dfrac{\omega}{\omega_{0}}=0,5.
  • Substituindo em \dfrac{2\zeta r}{1-r^{2}}:
\frac{2\zeta(0,5)}{1-(0,5)^{2}} = \frac{\zeta}{1-0,25} = \frac{\zeta}{0,75} = \frac{4\zeta}{3}.
  • Portanto o deslocamento de fase para \omega=0,5\,\omega_{0} é
\varphi = \arctan\!\left(\frac{4\zeta}{3}\right).

Resposta

\displaystyle \varphi = \arctan\!\left(\dfrac{4\zeta}{3}\right)

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