Para o mesmo oscilador acima, determine o deslocamento de fase
entre a força aplicada e o deslocamento do sistema para:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o deslocamento de fase
entre a força aplicada e o deslocamento do sistema quando
.
Informações dadas (explicitadas):
- Foi pedido o deslocamento de fase para a frequência de excitação
. - Não foram dados valores numéricos para massa, amortecimento ou rigidez, então vamos obter uma expressão geral em função do coeficiente de amortecimento adimensional (razão de amortecimento)
ou dos parâmetros . - Consideramos o oscilador forçado amortecido padrão, com equação:
A resolução começa agora.
Passo 2
Modelo e forma da solução de regime permanente.
- Para a excitação harmônica
, a solução de regime permanente tem a mesma frequência da força e pode ser escrita como
onde
é a amplitude e
é o deslocamento de fase entre a força e o deslocamento (a força é tomada como referência em fase zero:
).
- Nosso objetivo é achar
em função dos parâmetros do sistema e de .
Passo 3
Método prático: buscar uma solução particular da forma
e relacionar
e
com
.
- Derivadas:
- Substituindo na equação
e agrupando coeficientes de e obtemos o sistema linear para e :
Passo 4
Resolver o sistema para obter
e
.
- Da segunda equação isolamos
:
- Substituindo na primeira:
- Colocando over comum:
logo
- E então
Passo 5
Relação entre
e o deslocamento de fase
.
- Se
, podemos usar a identidade
Comparando com
vemos que
logo
- Portanto o deslocamento de fase é
(Observação: a função
devolve o ângulo no quadrante correto se você considerar o sinal de
e de
; para amortecimento positivo
a expressão acima é a forma usual.)
Passo 6
Expressar
em termos de
e da razão de amortecimento
.
- Definições úteis:
- Reescrevendo o argumento da tangente:
- Assim, em termos adimensionais (com
):
Passo 7
Aplicar
.
- Aqui
. - Substituindo em
:
- Portanto o deslocamento de fase para
é