- Uma corda extensível tem comprimento
e
. Submetendo-se a uma força tensora de intensidade
, seu comprimento é duplicado. Estica-se a corda entre dois pontos separados pela distância
. Calcular a velocidade de propagação de um abalo transversal na corda. (R: 12,3
)
a)
b)
c)
d)
e) N.D.A
a)
b)
c)
d)
e) N.D.A
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados numéricos que recebemos):
- Comprimento natural (não esticado) da corda:
. - Massa da corda:
. - Sob uma força tensora
a corda tem comprimento duplicado (ou seja, passa a ). - Depois a corda é esticada entre dois pontos separados por
(essa é a nova extensão sob a qual queremos a velocidade do abalo).
O que se pede: - Calcular a velocidade de propagação de um abalo transversal na corda quando ela está com comprimento
.
Passo 2
Conceito e fórmula principal que vamos usar (explicação didática):
- Para ondas transversais numa corda tensa e homogênea, a velocidade
da onda é dada por
onde:
-
é a tensão (força de tração) na corda, em newtons. -
é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento), em . - A densidade linear
é definida por
onde
é a massa total da corda e
é o comprimento atual da corda (sob tensão). Então, se conseguirmos a tensão
quando
, podemos calcular
.
Passo 3
Como obter a tensão
na nova situação (cadeia de raciocínio e leis usadas):
- A corda é extensível e o enunciado indica que sob
seu comprimento passa de para . Isso mostra que, na faixa considerada, a força elástica segue a lei de Hooke (força proporcional à extensão). - Pelo modelo linear (Lei de Hooke para a corda), a tensão
é proporcional à extensão :
onde
é a constante elástica efetiva da corda e
.
- Usando o caso conhecido para determinar
: quando a corda foi esticada de para , logo . Assim,
Passo 4
Determinar a tensão
quando a corda tem comprimento
:
- A nova extensão é
. - Pela mesma lei linear,
Passo 5
Calcular a densidade linear
com o comprimento atual
:
Passo 6
Agora aplicar a fórmula da velocidade usando
e
. Vou apresentar duas formas equivalentes e usar a que simplifica as contas:
- Forma direta:
- Substituindo
dá uma forma prática:
- Usando
, e :
- Calculando
: . Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados), fica
Passo 7
Checagem final contra as alternativas: a resposta numérica encontrada é
, a alternativa que mais se aproxima entre as dadas é a letra c)
.
Resposta
c)