1. Uma corda extensível tem comprimento \mathrm{I}=2,0 \mathrm{~m} e \mathrm{m}=0,050 \mathrm{~kg}. Submetendo-se a uma força tensora de intensidade \mathrm{F}=5,0 \mathrm{~N}, seu comprimento é duplicado. Estica-se a corda entre dois pontos separados pela distância \mathrm{I}=3,0 \mathrm{~m}. Calcular a velocidade de propagação de um abalo transversal na corda. (R: 12,3 \mathrm{m} / \mathrm{s} )
    a) 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
    b) 1,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
    c) 12,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
    d) 7,07 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
    e) N.D.A

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados numéricos que recebemos):
  • Comprimento natural (não esticado) da corda: L_{0}=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Massa da corda: m=0{,}050\\ \mathrm{kg}.
  • Sob uma força tensora F=5{,}0\\ \mathrm{N} a corda tem comprimento duplicado (ou seja, passa a 4{,}0\\ \mathrm{m}).
  • Depois a corda é esticada entre dois pontos separados por L=3{,}0\\ \mathrm{m} (essa é a nova extensão sob a qual queremos a velocidade do abalo).
    O que se pede:
  • Calcular a velocidade de propagação de um abalo transversal na corda quando ela está com comprimento L=3{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula principal que vamos usar (explicação didática):
  • Para ondas transversais numa corda tensa e homogênea, a velocidade v da onda é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde:
  • T é a tensão (força de tração) na corda, em newtons.
  • \mu é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento), em \mathrm{kg/m}.
  • A densidade linear \mu é definida por
\mu=\dfrac{m}{L},
onde m é a massa total da corda e L é o comprimento atual da corda (sob tensão). Então, se conseguirmos a tensão T quando L=3{,}0\\ \mathrm{m}, podemos calcular v.

Passo 3

Como obter a tensão T na nova situação (cadeia de raciocínio e leis usadas):
  • A corda é extensível e o enunciado indica que sob F=5{,}0\\ \mathrm{N} seu comprimento passa de L_{0}=2{,}0\\ \mathrm{m} para 4{,}0\\ \mathrm{m}. Isso mostra que, na faixa considerada, a força elástica segue a lei de Hooke (força proporcional à extensão).
  • Pelo modelo linear (Lei de Hooke para a corda), a tensão T é proporcional à extensão \Delta L:
T = k\,\Delta L,
onde k é a constante elástica efetiva da corda e \Delta L = L - L_{0}.
  • Usando o caso conhecido para determinar k: quando T=5{,}0\\ \mathrm{N} a corda foi esticada de 2{,}0\\ \mathrm{m} para 4{,}0\\ \mathrm{m}, logo \Delta L_{1}=4{,}0-2{,}0=2{,}0\\ \mathrm{m}. Assim,
k=\dfrac{5{,}0}{2{,}0}=2{,}5\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Determinar a tensão T quando a corda tem comprimento L=3{,}0\\ \mathrm{m}:
  • A nova extensão é \Delta L_{2}=3{,}0-2{,}0=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Pela mesma lei linear,
T = k\,\Delta L_{2}=2{,}5\times 1{,}0=2{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a densidade linear \mu com o comprimento atual L=3{,}0\\ \mathrm{m}:
\mu=\dfrac{m}{L}=\dfrac{0{,}050}{3{,}0}=\dfrac{1}{60}\\ \mathrm{kg/m}\approx 0{,}016666\ldots\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula da velocidade usando T e \mu. Vou apresentar duas formas equivalentes e usar a que simplifica as contas:
  • Forma direta:
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
  • Substituindo \mu=\dfrac{m}{L} dá uma forma prática:
v=\sqrt{\dfrac{T}{m/L}}=\sqrt{\dfrac{T\,L}{m}}.
  • Usando T=2{,}5\\ \mathrm{N}, L=3{,}0\\ \mathrm{m} e m=0{,}050\\ \mathrm{kg}:
v=\sqrt{\dfrac{2{,}5\times 3{,}0}{0{,}050}}=\sqrt{\dfrac{7{,}5}{0{,}050}}=\sqrt{150}.
  • Calculando \sqrt{150}: \sqrt{150}\approx 12{,}247\ldots\\ \mathrm{m/s}. Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados), fica
v\approx 12{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Checagem final contra as alternativas: a resposta numérica encontrada é 12{,}3\\ \mathrm{m/s}, a alternativa que mais se aproxima entre as dadas é a letra c) 12{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

12{,}3\\ \mathrm{m/s}
c)

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