1. Uma onda transversal sobre uma corda é dada por y(x, t)=(0,75 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen} \pi\left[\left(250 s^{-1}\right) t+\right. \left.\left(0.400 \mathrm{~cm}^{-1}\right) x\right]. a) Ache a amplitude, o período, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda. b) Faça um desenho da corda para os seguintes valores de t: 0,0005 s e 0,001 \mathrm{~s} . \mathrm{c}) A onda está se deslocando no sentido+ x ou no sentido -x? d) A massa por unidade de comprimento da corda é igual a 0,500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Ache a tensão. e) Ache a potência média transportada por esta onda.

Passo 1

O enunciado dá a função da onda transversal sobre a corda
y(x,t) = (0{,}75\\ \mathrm{cm})\;\sin\!\biggl(\pi\bigl[(250\\ \mathrm{s^{-1}})t + (0{,}400\\ \mathrm{cm^{-1}})x\bigr]\biggr).
As perguntas são:
(a) Ache a amplitude, o período, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda.
(b) Faça um desenho (ou descreva) a forma da corda para t=0{,}0005\\ \mathrm{s} e t=0{,}001\\ \mathrm{s}.
(c) A onda desloca-se no sentido +x ou no sentido -x?
(d) Sabendo que a massa por unidade de comprimento da corda é \mu=0{,}500\\ \mathrm{kg/m}, ache a tensão T da corda.
(e) Ache a potência média transportada por esta onda.
Informações relevantes explícitas extraídas da expressão:
  • A amplitude indicada é 0{,}75\\ \mathrm{cm}.
  • O argumento do seno é \pi\bigl[(250\\ \mathrm{s^{-1}})t + (0{,}400\\ \mathrm{cm^{-1}})x\bigr].
  • A parte dependente de t tem coeficiente \pi\cdot 250\\ \mathrm{s^{-1}} (vai dar a pulsação \omega).
  • A parte dependente de x tem coeficiente \pi\cdot 0{,}400\\ \mathrm{cm^{-1}} (vai dar o número de onda k).

Passo 2

Vamos identificar as quantidades fundamentais (aula rápida, passo a passo).
  1. Amplitude A: é o fator multiplicando o seno, portanto
A = 0{,}75\\ \mathrm{cm} = 0{,}0075\\ \mathrm{m}.
Explanação: a amplitude é a máxima deflexão em relação ao eixo x.
  1. Pulsação \omega e frequência f: o termo temporal do argumento é \pi\cdot(250\\ \mathrm{s^{-1}})\,t. Assim a pulsação é
\omega = \pi\cdot 250\\ \mathrm{rad/s} = 250\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Relação entre \omega e a frequência f:
\omega = 2\pi f \quad\Rightarrow\quad f = \frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo,
f = \frac{250\pi}{2\pi} = 125\\ \mathrm{Hz}.
Período T é o inverso da frequência:
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{125} = 0{,}008\\ \mathrm{s}.
Explicação: \omega é a velocidade angular com que a fase varia no tempo; dividir por 2\pi dá ciclos por segundo.
  1. Número de onda k e comprimento de onda \lambda: o termo espacial do argumento é \pi\cdot(0{,}400\\ \mathrm{cm^{-1}})\,x. Portanto
k = \pi\cdot 0{,}400\\ \mathrm{cm^{-1}} = 0{,}400\pi\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Para trabalhar em unidades SI, convertemos 0{,}400\\ \mathrm{cm^{-1}} = 40\\ \mathrm{m^{-1}}, então
k = \pi\cdot 40\\ \mathrm{m^{-1}} = 40\pi\\ \mathrm{m^{-1}}.
A relação entre k e \lambda é
k = \frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=40\pi\\ \mathrm{m^{-1}},
\lambda = \frac{2\pi}{40\pi} = \frac{1}{20}\\ \mathrm{m} = 0{,}05\\ \mathrm{m} = 5{,}0\\ \mathrm{cm}.
Explicação: k mede quantos radianos de fase se acumulam por unidade de comprimento; 2\pi radianos correspondem a uma onda completa.
  1. Velocidade de propagação v: duas relações equivalentes são
v = f\lambda \quad\text{ou}\quad v = \frac{\omega}{k}.
Usando f=125\\ \mathrm{Hz} e \lambda=0{,}05\\ \mathrm{m},
v = 125\times 0{,}05 = 6{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Verificação com \omega/k:
v = \frac{250\pi}{40\pi} = \frac{250}{40} = 6{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Comentários motivacionais: olha aí — números simples aparecem (5 cm, 125 Hz, 6{,}25 m/s), não é tão aterrador!

Passo 3

Parte (b): fazer os desenhos em pontos concretos — vamos transformar a função em uma forma prática para desenhar e dar valores numéricos em alguns pontos (você pode ligar os pontos com uma curva suave para obter o gráfico).
A forma original, observando unidades (a expressão usa x em centímetros por causa de \mathrm{cm^{-1}}), pode ser escrita como
y(x,t) = (0{,}75\\ \mathrm{cm})\;\sin\!\bigl(\pi\,(250\,t + 0{,}400\,x)\bigr),
onde aqui x está em \mathrm{cm} e t em \mathrm{s}. (Se preferir usar x em metros, converta o coeficiente espacial para 40\\ \mathrm{m^{-1}}.)
Substituindo os instantes pedidos:
  1. Para t=0{,}0005\\ \mathrm{s} (isto é 5\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}):
250\,t = 250\times 0{,}0005 = 0{,}125,
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y(x,0{,}0005) = (0{,}75\\ \mathrm{cm})\;\sin\!\bigl(\pi(0{,}125 + 0{,}400\,x)\bigr).
  1. Para t=0{,}001\\ \mathrm{s}:
250\,t = 250\times 0{,}001 = 0{,}25,
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y(x,0{,}001) = (0{,}75\\ \mathrm{cm})\;\sin\!\bigl(\pi(0{,}25 + 0{,}400\,x)\bigr).
Para ajudar a desenhar, aqui vão valores em pontos espaçados dentro de uma onda ( \lambda=5{,}0\\ \mathrm{cm}). Use x em cm; y em cm.
Para t=0{,}0005\\ \mathrm{s}:
  • x=0{,}0: \theta=\pi(0{,}125+0)=0{,}125\pi\Rightarrow \sin\theta\approx 0{,}382683 \Rightarrow y\approx 0{,}287\\ \mathrm{cm}.
  • x=1{,}25: \theta=\pi(0{,}125+0{,}5)=0{,}625\pi\Rightarrow \sin\theta\approx 0{,}923880\Rightarrow y\approx 0{,}693\\ \mathrm{cm}.
  • x=2{,}5: \theta=\pi(1{,}125)\Rightarrow \sin\theta\approx -0{,}382683\Rightarrow y\approx -0{,}287\\ \mathrm{cm}.
  • x=3{,}75: \theta=\pi(1{,}625)\Rightarrow \sin\theta\approx -0{,}923880\Rightarrow y\approx -0{,}693\\ \mathrm{cm}.
  • x=5{,}0: volta ao valor de x=0 (uma onda completa), y\approx 0{,}287\\ \mathrm{cm}.
Para t=0{,}001\\ \mathrm{s}:
  • x=0{,}0: \theta=\pi(0{,}25)\Rightarrow \sin\theta\approx 0{,}707107\Rightarrow y\approx 0{,}530\\ \mathrm{cm}.
  • x=1{,}25: \theta=\pi(0{,}75)\Rightarrow \sin\theta\approx 0{,}707107\Rightarrow y\approx 0{,}530\\ \mathrm{cm}.
  • x=2{,}5: \theta=\pi(1{,}25)\Rightarrow \sin\theta\approx -0{,}707107\Rightarrow y\approx -0{,}530\\ \mathrm{cm}.
  • x=3{,}75: \theta=\pi(1{,}75)\Rightarrow \sin\theta\approx -0{,}707107\Rightarrow y\approx -0{,}530\\ \mathrm{cm}.
  • x=5{,}0: y\approx 0{,}530\\ \mathrm{cm}.
Como desenhar: escolha um eixo horizontal x (por exemplo de 0 a 10\\ \mathrm{cm} para ver duas ondas) e no eixo vertical marque de -0{,}75 a +0{,}75\\ \mathrm{cm}. Plote os pontos acima e ligue suavemente — vai sair uma senoide com cristas em y\approx\pm 0{,}75\\ \mathrm{cm} e comprimento de onda 5\\ \mathrm{cm}. Observação prática: comparando os dois tempos, a forma em t=0{,}001\\ \mathrm{s} está deslocada em relação a t=0{,}0005\\ \mathrm{s}; essa deslocamento corresponde ao movimento da onda ao longo do eixo x.

Passo 4

Parte (c): direcionalidade da onda — regra prática e aplicação.
Regra de sinal: uma solução padrão para uma onda viajando no sentido +x tem forma \sin(kx - \omega t). Uma onda viajando no sentido -x aparece como \sin(kx + \omega t). No nosso caso o argumento é \pi(\,250 t + 0{,}400 x\,)=\omega t + k x, ou seja \sin(kx + \omega t). Portanto a onda se desloca no sentido -x.
Explicação intuitiva: para um instante fixo de fase, kx+\omega t= const implica que, quando t aumenta, x precisa diminuir para manter a fase constante — logo a crista se move para valores menores de x.

Passo 5

Parte (d): tensão da corda T.
Fórmula básica para velocidade de onda transverse numa corda tensa:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \mu é a massa por unidade de comprimento ( \mathrm{kg/m}) e T é a tensão (em N). Isolando T,
T = \mu v^2.
Substituindo \mu=0{,}500\\ \mathrm{kg/m} e v=6{,}25\\ \mathrm{m/s},
T = 0{,}500\times (6{,}25)^2 = 0{,}500\times 39{,}0625 = 19{,}53125\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
T \approx 19{,}53\\ \mathrm{N}.
Explicação: essa fórmula vem do equilíbrio entre a inércia da corda e a força elástica de tração que fornece a aceleração transversa da massa elementar da corda.

Passo 6

Parte (e): potência média transportada por uma onda senoidal numa corda.
Fórmula (resultado padrão e útil na prova):
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2} A^{2} v,
onde:
  • \langle P\rangle é a potência média (W),
  • \mu é a massa por unidade de comprimento ( \mathrm{kg/m}),
  • \omega é a pulsação ( \mathrm{rad/s}),
  • A é a amplitude (m),
  • v é a velocidade de propagação (m/s).
Breve justificativa: a potência instantânea transmitida numa seção é P(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}. Substituindo a forma de y, fazendo a média temporal e usando T=\mu v^2 chega-se à expressão acima. (Não esquece de que a média temporal de \sin^2 é 1/2.)
Substituindo valores em SI:
  • \mu=0{,}500\\ \mathrm{kg/m},
  • \omega = 250\pi\\ \mathrm{rad/s},
  • A=0{,}0075\\ \mathrm{m},
  • v=6{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Calcule passo a passo (apenas os passos principais mostrados):
\omega^{2} = (250\pi)^{2} = 62500\,\pi^{2}\approx 6{,}16850\times 10^{5}\\ \mathrm{rad^{2}/s^{2}},
A^{2} = (0{,}0075)^{2} = 5{,}625\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},
então
\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\times 0{,}500\times (250\pi)^{2}\times (0{,}0075)^{2}\times 6{,}25.
Computando numericamente dá aproximadamente
\langle P\rangle \approx 54{,}2\\ \mathrm{W}.
Comentário final: resultado razoavelmente grande — ondas de alta frequência e amplitude transportam potência significativa.

Resposta

(a) A=0{,}75\\ \mathrm{cm}=0{,}0075\\ \mathrm{m};\\ T=0{,}008\\ \mathrm{s};\\ f=125\\ \mathrm{Hz};\\ \lambda=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m};\\ v=6{,}25\\ \mathrm{m/s}.
(b) y(x,0{,}0005)=0{,}75\\ \mathrm{cm}\,\sin\!\bigl(\pi(0{,}125+0{,}400x)\bigr) e y(x,0{,}001)=0{,}75\\ \mathrm{cm}\,\sin\!\bigl(\pi(0{,}25+0{,}400x)\bigr). (Tabela de pontos em texto no passo 3 para desenhar: valores exibidos.)
(c) A onda desloca-se no sentido -x.
(d) T\approx 19{,}53\\ \mathrm{N}.
(e) Potência média \langle P\rangle \approx 54{,}2\\ \mathrm{W}.

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