- Uma onda transversal sobre uma corda é dada por
. a) Ache a amplitude, o período, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda. b) Faça um desenho da corda para os seguintes valores de t: 0,0005 s e
A onda está se deslocando no sentido+
ou no sentido -x? d) A massa por unidade de comprimento da corda é igual a
. Ache a tensão. e) Ache a potência média transportada por esta onda.
Passo 1
O enunciado dá a função da onda transversal sobre a corda
As perguntas são:
(a) Ache a amplitude, o período, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda.
(b) Faça um desenho (ou descreva) a forma da corda para e
.
(c) A onda desloca-se no sentido ou no sentido
?
(d) Sabendo que a massa por unidade de comprimento da corda é , ache a tensão
da corda.
(e) Ache a potência média transportada por esta onda.
(a) Ache a amplitude, o período, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda.
(b) Faça um desenho (ou descreva) a forma da corda para
(c) A onda desloca-se no sentido
(d) Sabendo que a massa por unidade de comprimento da corda é
(e) Ache a potência média transportada por esta onda.
Informações relevantes explícitas extraídas da expressão:
- A amplitude indicada é
. - O argumento do seno é
. - A parte dependente de
tem coeficiente (vai dar a pulsação ). - A parte dependente de
tem coeficiente (vai dar o número de onda ).
Passo 2
Vamos identificar as quantidades fundamentais (aula rápida, passo a passo).
- Amplitude
: é o fator multiplicando o seno, portanto
Explanação: a amplitude é a máxima deflexão em relação ao eixo
.
- Pulsação
e frequência : o termo temporal do argumento é . Assim a pulsação é
Relação entre
e a frequência
:
Substituindo,
Período
é o inverso da frequência:
Explicação:
é a velocidade angular com que a fase varia no tempo; dividir por
dá ciclos por segundo.
- Número de onda
e comprimento de onda : o termo espacial do argumento é . Portanto
Para trabalhar em unidades SI, convertemos
, então
A relação entre
e
é
Substituindo
,
Explicação:
mede quantos radianos de fase se acumulam por unidade de comprimento;
radianos correspondem a uma onda completa.
- Velocidade de propagação
: duas relações equivalentes são
Usando
e
,
Verificação com
:
Comentários motivacionais: olha aí — números simples aparecem (5 cm, 125 Hz, 6{,}25 m/s), não é tão aterrador!
Passo 3
Parte (b): fazer os desenhos em pontos concretos — vamos transformar a função em uma forma prática para desenhar e dar valores numéricos em alguns pontos (você pode ligar os pontos com uma curva suave para obter o gráfico).
A forma original, observando unidades (a expressão usa
em centímetros por causa de
), pode ser escrita como
onde aqui
está em
e
em
. (Se preferir usar
em metros, converta o coeficiente espacial para
.)
Substituindo os instantes pedidos:
- Para
(isto é ):
logo
- Para
:
logo
Para ajudar a desenhar, aqui vão valores em pontos espaçados dentro de uma onda (
). Use
em cm;
em cm.
Para
:
-
: -
: -
: -
: -
: volta ao valor de (uma onda completa),
Para
:
-
: -
: -
: -
: -
:
Como desenhar: escolha um eixo horizontal
(por exemplo de
a
para ver duas ondas) e no eixo vertical marque de
a
. Plote os pontos acima e ligue suavemente — vai sair uma senoide com cristas em
e comprimento de onda
. Observação prática: comparando os dois tempos, a forma em
está deslocada em relação a
; essa deslocamento corresponde ao movimento da onda ao longo do eixo
.
Passo 4
Parte (c): direcionalidade da onda — regra prática e aplicação.
Regra de sinal: uma solução padrão para uma onda viajando no sentido
tem forma
. Uma onda viajando no sentido
aparece como
. No nosso caso o argumento é
, ou seja
. Portanto a onda se desloca no sentido
.
Explicação intuitiva: para um instante fixo de fase,
const implica que, quando
aumenta,
precisa diminuir para manter a fase constante — logo a crista se move para valores menores de
.
Passo 5
Parte (d): tensão da corda
.
Fórmula básica para velocidade de onda transverse numa corda tensa:
onde
é a massa por unidade de comprimento (
) e
é a tensão (em N). Isolando
,
Substituindo
e
,
Arredondando razoavelmente:
Explicação: essa fórmula vem do equilíbrio entre a inércia da corda e a força elástica de tração que fornece a aceleração transversa da massa elementar da corda.
Passo 6
Parte (e): potência média transportada por uma onda senoidal numa corda.
Fórmula (resultado padrão e útil na prova):
onde:
-
é a potência média (W), -
é a massa por unidade de comprimento ( ), -
é a pulsação ( ), -
é a amplitude (m), -
é a velocidade de propagação (m/s).
Breve justificativa: a potência instantânea transmitida numa seção é
. Substituindo a forma de
, fazendo a média temporal e usando
chega-se à expressão acima. (Não esquece de que a média temporal de
é
.)
Substituindo valores em SI:
-
, -
, -
, -
.
Calcule passo a passo (apenas os passos principais mostrados):
então
Computando numericamente dá aproximadamente
Comentário final: resultado razoavelmente grande — ondas de alta frequência e amplitude transportam potência significativa.
Resposta
(a)
(b) e
. (Tabela de pontos em texto no passo 3 para desenhar: valores exibidos.)
(c) A onda desloca-se no sentido .
(d)
(e) Potência média
(b)
(c) A onda desloca-se no sentido
(d)
(e) Potência média