Uma corda presa nas extremidade produz uma onda estacionária numa frequência igual a 180 Hz . O harmônico seguinte tem uma frequência igual a 225 Hz . (a) Qual o valor do frequência do harmônico fundamental? (b) Supondo que a corda tem 3 m de comprimento, qual a comprimento de onda cuja frequência é igual a 90 Hz ?
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes e faz duas perguntas claras. Vou listar isso aqui para a gente não se perder:
- Dados:
- Perguntas:
(a) Qual o valor da frequência do harmônico fundamental?
(b) Qual o comprimento de onda correspondente à frequência, supondo que a corda tem ?
(Observação: o enunciado diz explicitamente que um harmônico é seguido pelo “harmônico seguinte”, ou seja, são dois harmônicos consecutivos.)
Passo 2
Pequena revisão teórica (sem pânico, é bem direto): para uma corda presa nas duas extremidades nós temos modos de vibração chamados harmônicos. Cada harmônico é identificado por um número inteiro
(onde
é o harmônico fundamental). As fórmulas importantes e o que cada símbolo significa:
-
= comprimento de onda do -ésimo harmônico. -
= frequência do -ésimo harmônico. -
= comprimento da corda. -
= velocidade de propagação das ondas na corda.
Para uma corda fixa nas duas extremidades valem as relações:
Daí fica claro que:
ou seja, as frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental
. Aqui
é um inteiro e
é a frequência do harmônico fundamental.
Passo 3
Usamos a propriedade de harmônicos consecutivos: se
e
são dois harmônicos consecutivos, então
No problema temos
e
. Portanto a diferença é exatamente a frequência fundamental:
Passo 4
Vamos agora achar a velocidade de onda
na corda porque isso vai ajudar a obter o comprimento de onda pedido. Podemos usar o harmônico fundamental para isso: para
vale
. Como
,
A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
Aplicando ao harmônico fundamental:
(Interpretação: as ondas se propagam na corda a
.)
Passo 5
Agora queremos o comprimento de onda que corresponde a
. Use a relação geral
Com
e
,
Como verificação alternativa (útil na prova): note que
, ou seja, é o segundo harmônico (
). Para
a fórmula
dá
coincidindo com o resultado acima — bom sinal!
Resposta
(a)
(b)
(b)