Uma corda presa nas extremidade produz uma onda estacionária numa frequência igual a 180 Hz . O harmônico seguinte tem uma frequência igual a 225 Hz . (a) Qual o valor do frequência do harmônico fundamental? (b) Supondo que a corda tem 3 m de comprimento, qual a comprimento de onda cuja frequência é igual a 90 Hz ?

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e faz duas perguntas claras. Vou listar isso aqui para a gente não se perder:
  • Dados: \text{Um harmônico tem frequência } 180\\ \text{Hz}ôê
\text{o harmônico seguinte tem frequência } 225\\ \text{Hz}ôê
\text{o comprimento da corda é } 3\\ \text{m}é
  • Perguntas:
    (a) Qual o valor da frequência do harmônico fundamental?
    (b) Qual o comprimento de onda correspondente à frequência 90\\ \text{Hz}, supondo que a corda tem 3\\ \text{m}?
(Observação: o enunciado diz explicitamente que um harmônico é seguido pelo “harmônico seguinte”, ou seja, são dois harmônicos consecutivos.)

Passo 2

Pequena revisão teórica (sem pânico, é bem direto): para uma corda presa nas duas extremidades nós temos modos de vibração chamados harmônicos. Cada harmônico é identificado por um número inteiro n=1,2,3,\dots (onde n=1 é o harmônico fundamental). As fórmulas importantes e o que cada símbolo significa:
  • \lambda_n = comprimento de onda do n-ésimo harmônico.
  • f_n = frequência do n-ésimo harmônico.
  • L = comprimento da corda.
  • v = velocidade de propagação das ondas na corda.
Para uma corda fixa nas duas extremidades valem as relações:
\lambda_n=\frac{2L}{n}
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{2L}
Daí fica claro que:
f_n = n f_1,
ou seja, as frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental f_1. Aqui n é um inteiro e f_1 é a frequência do harmônico fundamental.

Passo 3

Usamos a propriedade de harmônicos consecutivos: se f_k e f_{k+1} são dois harmônicos consecutivos, então
f_{k+1}-f_k = (k+1)f_1 - k f_1 = f_1.
No problema temos f_k = 180\\ \text{Hz} e f_{k+1}=225\\ \text{Hz}. Portanto a diferença é exatamente a frequência fundamental:
f_1 = 225\\ \text{Hz} - 180\\ \text{Hz} = 45\\ \text{Hz}.

Passo 4

Vamos agora achar a velocidade de onda v na corda porque isso vai ajudar a obter o comprimento de onda pedido. Podemos usar o harmônico fundamental para isso: para n=1 vale \lambda_1=2L. Como L=3\\ \text{m},
\lambda_1 = 2L = 2\cdot 3\\ \text{m} = 6\\ \text{m}.
A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v = f\lambda.
Aplicando ao harmônico fundamental:
v = f_1 \lambda_1 = 45\\ \text{Hz}\times 6\\ \text{m} = 270\\ \text{m/s}.
(Interpretação: as ondas se propagam na corda a 270\\ \text{m/s}.)

Passo 5

Agora queremos o comprimento de onda que corresponde a 90\\ \text{Hz}. Use a relação geral
\lambda = \frac{v}{f}.
Com v=270\\ \text{m/s} e f=90\\ \text{Hz},
\lambda = \frac{270\\ \text{m/s}}{90\\ \text{Hz}} = 3\\ \text{m}.
Como verificação alternativa (útil na prova): note que 90\\ \text{Hz}=2\cdot 45\\ \text{Hz}=2 f_1, ou seja, é o segundo harmônico ( n=2). Para n=2 a fórmula \lambda_n=\dfrac{2L}{n}
\lambda_2 = \frac{2L}{2} = L = 3\\ \text{m},
coincidindo com o resultado acima — bom sinal!

Resposta

(a) 45\\ \text{Hz}
(b) 3\\ \text{m}

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