A fonte de som A está localizada em
, e a fonte sonora B é colocada em
. As duas fontes irradiam coerentemente e em fase. Um observador em x = 40 m e
observa que, à medida que ele dá alguns passos na direção positiva, ou direção y negativa longe de
, a intensidade do som diminui. Quais são as frequências mais baixas e as próximas mais altas das fontes que podem explicar essa observação?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para achar quais frequências das fontes explicam a observação:
- Fonte
em . - Fonte
em . (Peguei o valor da separação vertical entre as fontes do enunciado: .) - As duas fontes irradiam coerentemente e em fase.
- Observador inicialmente em
. - Observação: quando o observador se afasta um pouco de
(ou seja, anda alguns passos para positivo ou negativo), a intensidade do som diminui — isso indica que em há um máximo de intensidade (interferência construtiva) e, a uma pequena distância, aparece uma zona de intensidade menor (próxima a um mínimo). - Precisamos encontrar a menor frequência (mais baixa) e a próxima mais alta que expliquem essa situação.
Passo 2
Conceitos essenciais (aula rapidinha, sem pular passos):
- Interferência entre duas fontes coerentes em fase depende da diferença de caminho entre as distâncias da observador até cada fonte. Essa diferença chama-se diferença de caminho
. - Se a diferença de caminho satisfaz
com
inteiro, temos interferência construtiva (máximo) — ondas chegam em fase (picos com picos).
- Se a diferença de caminho satisfaz
temos interferência destrutiva (mínimo) — ondas chegam fora de fase (picos com vales).
- Aqui
é o comprimento de onda da(s) fonte(s) e é um número inteiro (0,1,2,…). O que isso significa para nós: para que o ponto em seja um máximo, a diferença de caminho naquele ponto deve ser exatamente um múltiplo inteiro de . - Relação com frequência:
, onde é a velocidade do som no ar. Vou assumir (valor típico a ). Se preferir outro , a conta é análoga.
Passo 3
Calcular a diferença de caminho
no ponto inicial
:
- Distância do observador até
:
- Distância do observador até
:
- Aproximo a raiz (expansão para pequena quantidade em relação a
ou cálculo direto). Usando expansão:
valor mais refinado
.
- Logo a diferença de caminho em
é
Passo 4
Determinar as condições para um máximo em
e identificar o menor comprimento de onda possível:
- Para que
seja um máximo, precisa existir inteiro tal que
- Aqui
não é zero, então (que exigiria ) não vale. O menor inteiro possível é . Esse dá o maior que ainda satisfaz a condição (logo a menor frequência). - Assim a menor
que gera um máximo em (no sentido de maior comprimento de onda compatível com essa ) é
- A frequência correspondente é
- Escrevendo com dígitos:
Passo 5
Próxima frequência mais alta compatível (próximo modo):
- Se para
temos , para temos . Menor significa maior , então fornece a próxima frequência mais alta que ainda produz um máximo em . - Frequência correspondente:
- Numericamente:
Passo 6
Verificação qualitativa: “alguns passos” levam a diminuição de intensidade?
- Para ver se uma pequena mudança em
(alguns passos, centenas de centímetros) pode levar a um mínimo, calcule a variação de com perto de . - Derivada:
- Em
:
- Para ir de um máximo até um mínimo adjacente precisamos mudar
em . Com , temos . - Deslocamento em
necessário (estimativa linear):
- Conclusão: uma caminhada de cerca de
(alguns passos) basta para reduzir fortemente a intensidade — isto bate com a observação. Portanto as frequências encontradas são plausíveis.