A fonte de som A está localizada em x=0, y=0, e a fonte sonora B é colocada em \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=2,4 \mathrm{~m}. As duas fontes irradiam coerentemente e em fase. Um observador em x = 40 m e y=0 observa que, à medida que ele dá alguns passos na direção positiva, ou direção y negativa longe de y=0, a intensidade do som diminui. Quais são as frequências mais baixas e as próximas mais altas das fontes que podem explicar essa observação?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para achar quais frequências das fontes explicam a observação:
  • Fonte A em (x,y)=(0,0).
  • Fonte B em (x,y)=(0,2,4\\ \mathrm{m}). (Peguei o valor da separação vertical entre as fontes do enunciado: 2{,}4\\ \mathrm{m}.)
  • As duas fontes irradiam coerentemente e em fase.
  • Observador inicialmente em (x,y)=(40\\ \mathrm{m},0).
  • Observação: quando o observador se afasta um pouco de y=0 (ou seja, anda alguns passos para y positivo ou negativo), a intensidade do som diminui — isso indica que em y=0 há um máximo de intensidade (interferência construtiva) e, a uma pequena distância, aparece uma zona de intensidade menor (próxima a um mínimo).
  • Precisamos encontrar a menor frequência (mais baixa) e a próxima mais alta que expliquem essa situação.

Passo 2

Conceitos essenciais (aula rapidinha, sem pular passos):
  • Interferência entre duas fontes coerentes em fase depende da diferença de caminho entre as distâncias da observador até cada fonte. Essa diferença chama-se diferença de caminho \Delta.
  • Se a diferença de caminho satisfaz
\Delta = m\lambda,
com m inteiro, temos interferência construtiva (máximo) — ondas chegam em fase (picos com picos).
  • Se a diferença de caminho satisfaz
\Delta = \left(m+\tfrac12\right)\lambda,
temos interferência destrutiva (mínimo) — ondas chegam fora de fase (picos com vales).
  • Aqui \lambda é o comprimento de onda da(s) fonte(s) e m é um número inteiro (0,1,2,…). O que isso significa para nós: para que o ponto em y=0 seja um máximo, a diferença de caminho naquele ponto deve ser exatamente um múltiplo inteiro de \lambda.
  • Relação com frequência: f = \dfrac{c}{\lambda}, onde c é a velocidade do som no ar. Vou assumir c=343\\ \mathrm{m/s} (valor típico a 20^\circ\mathrm{C}). Se preferir outro c, a conta é análoga.

Passo 3

Calcular a diferença de caminho \Delta no ponto inicial (40\\ \mathrm{m},0):
  • Distância do observador até A:
r_A=\sqrt{(40-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1600}=40\\ \mathrm{m}.
  • Distância do observador até B:
r_B=\sqrt{(40-0)^2+(0-2{,}4)^2}=\sqrt{1600+2{,}4^2}=\sqrt{1600+5{,}76}=\sqrt{1605{,}76}.
  • Aproximo a raiz (expansão para pequena quantidade em relação a 1600 ou cálculo direto). Usando expansão:
\sqrt{1600+5{,}76}\approx 40+\frac{5{,}76}{2\cdot 40}=40+0{,}072=40{,}072\\ \mathrm{m},
valor mais refinado r_B\approx 40{,}071935\\ \mathrm{m}.
  • Logo a diferença de caminho em y=0 é
\Delta_0 = r_B-r_A \approx 40{,}071935-40 = 0{,}071935\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar as condições para um máximo em y=0 e identificar o menor comprimento de onda possível:
  • Para que y=0 seja um máximo, precisa existir inteiro m\ge 0 tal que
\Delta_0 = m\lambda.
  • Aqui \Delta_0\approx 0{,}071935\\ \mathrm{m} não é zero, então m=0 (que exigiria \lambda=0{,}071935\cdot 0=0) não vale. O menor inteiro possível é m=1. Esse dá o maior \lambda que ainda satisfaz a condição (logo a menor frequência).
  • Assim a menor \lambda que gera um máximo em y=0 (no sentido de maior comprimento de onda compatível com essa \Delta_0) é
\lambda_1=\Delta_0\approx 0{,}071935\\ \mathrm{m}.
  • A frequência correspondente é
f_1=\frac{c}{\lambda_1}\approx\frac{343}{0{,}071935}\\ \mathrm{Hz}\approx 4{,}77\times 10^3\\ \mathrm{Hz}.
  • Escrevendo com dígitos:
f_1\approx 4{,}77\cdot 10^3\\ \mathrm{Hz}\quad(\text{aprox. }4768\\ \mathrm{Hz}).

Passo 5

Próxima frequência mais alta compatível (próximo modo):
  • Se para m=1 temos \lambda_1=\Delta_0, para m=2 temos \lambda_2=\dfrac{\Delta_0}{2}. Menor \lambda significa maior f, então m=2 fornece a próxima frequência mais alta que ainda produz um máximo em y=0.
  • Frequência correspondente:
f_2=\frac{c}{\lambda_2}=\frac{c}{\Delta_0/2}=2\frac{c}{\Delta_0}=2f_1.
  • Numericamente:
f_2\approx 2\cdot 4768\\ \mathrm{Hz}\approx 9536\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Verificação qualitativa: “alguns passos” levam a diminuição de intensidade?
  • Para ver se uma pequena mudança em y (alguns passos, centenas de centímetros) pode levar a um mínimo, calcule a variação de \Delta com y perto de y=0.
  • Derivada:
\Delta(y)=\sqrt{1600+(y-2{,}4)^2}-\sqrt{1600+y^2},
\frac{d\Delta}{dy}=\frac{y-2{,}4}{\sqrt{1600+(y-2{,}4)^2}}-\frac{y}{\sqrt{1600+y^2}}.
  • Em y=0:
\left.\frac{d\Delta}{dy}\right|_{0}=\frac{-2{,}4}{r_B}-0\approx\frac{-2{,}4}{40{,}071935}\approx -0{,}0599.
  • Para ir de um máximo até um mínimo adjacente precisamos mudar \Delta em \lambda/2. Com \lambda=\lambda_1\approx 0{,}071935\\ \mathrm{m}, temos \lambda/2\approx 0{,}03597\\ \mathrm{m}.
  • Deslocamento em y necessário (estimativa linear):
\Delta y\approx\frac{\lambda/2}{\left|\dfrac{d\Delta}{dy}\right|}\approx\frac{0{,}03597}{0{,}0599}\approx 0{,}60\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: uma caminhada de cerca de 0{,}6\\ \mathrm{m} (alguns passos) basta para reduzir fortemente a intensidade — isto bate com a observação. Portanto as frequências encontradas são plausíveis.

Resposta

f_1\approx 4{,}77\times 10^{3}\\ \mathrm{Hz} (menor frequência compatível)
f_2\approx 9{,}54\times 10^{3}\\ \mathrm{Hz} (próxima frequência mais alta)

Exercícios relacionados