Uma onda harmônica propaga-se numa corda com a velocidade de
. Uma parte qualquer da corda tem o deslocamento máximo de
e a velocidade máxima igual a
. Calcular (a) o comprimento de onda da onda; (b) a frequência da onda e (c) determinar a equação da função de onda.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
-
Informações dadas:
- Velocidade de propagação da onda:
. - Deslocamento máximo (amplitude) de uma partícula da corda:
. (Vou converter para metros na próxima etapa.) - Velocidade máxima da partícula da corda:
.
- Velocidade de propagação da onda:
-
Perguntas (o que o problema pede):
(a) Calcular o comprimento de onda.
(b) Calcular a frequência.
(c) Determinar a equação da função de onda (forma explícita).
Passo 2
Converter unidades e identificar fórmulas básicas que vamos usar (sem resolver ainda).
-
Converter amplitude para metros:É importante trabalhar tudo em SI (metros, segundos).
-
Fórmulas importantes (vou explicar cada uma depois de usar):
- A velocidade máxima transversal de uma partícula numa onda harmônica é dada por
onde é a frequência angular (medida em ) e é a amplitude (em metros). Isso vem da derivada temporal da função : a velocidade é , cujo valor máximo em módulo é . - A relação entre frequência angular
e frequência (ciclos por segundo) é Aqui tem unidade e aparece porque uma oscilação completa tem radianos. - A relação entre velocidade de propagação
, comprimento de onda e frequência é Intuição: em cada segundo a crista avança um número de comprimentos de onda igual a , então a distância percorrida por segundo é . - O número de onda
está ligado ao comprimento de onda por e também (porque ).
- A velocidade máxima transversal de uma partícula numa onda harmônica é dada por
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo aos números do enunciado.
Passo 3
Calcular a frequência angular
usando
.
- Substituindo os valores (tudo em SI):
- Fazer a divisão:
Para trabalhar com números razoáveis, mantenho .
Explicação didática curta: isso significa que a partícula oscila muito rápido — cada oscilação tem uma variação angular de
radianos, e a velocidade máxima proporcional à amplitude e a essa taxa angular.
Passo 4
Calcular a frequência
a partir de
.
- Isolando
: - Substituindo
: - Avaliando numericamente (usar
):
Didática:
é o número de oscilações por segundo da partícula. Se
é grande,
também é grande; a relação é apenas dividir por
porque uma oscilação corresponde a
radianos.
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
usando
.
- Isolando
: - Substituindo
e :
Didática: o comprimento de onda é a distância física entre duas cristas consecutivas. Com a frequência que encontramos, a onda tem comprimento aproximado de
.
Passo 6
Encontrar o número de onda
(útil para escrever a função de onda) e explicar formas da equação.
-
Cálculo de
por : Alternativamente pode-se usar; as duas dão quase o mesmo valor (diferenças pequenas por arredondamento). -
Forma geral de uma onda harmônica progressiva unidimensional (que vai na direção +x):onde:
-
é o deslocamento transversal no ponto e tempo , -
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial (ângulo de fase no instante e posição ).
-
Comentário sobre a fase: o enunciado não fornece informação sobre a fase inicial ou valor de
em
. Nesses casos, podemos escolher a forma mais simples com
. Isso não é “errado”: qualquer
real daria uma solução fisicamente possível, mas a escolha
produz uma forma simples e usual.
Passo 7
Montar a equação da onda com os valores numéricos arredondados (mantendo unidades no final).
- Valores usados:
- Escolhendo
e propagação no sentido positivo de , a equação fica:
Didática e verificação rápida: derivando em relação a
obtemos a velocidade transversal
O módulo máximo de
é
, que bate com o valor dado — ótima checagem!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)