Uma onda harmônica propaga-se numa corda com a velocidade de 12,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma parte qualquer da corda tem o deslocamento máximo de 4,5 \mathrm{~cm} e a velocidade máxima igual a 9,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcular (a) o comprimento de onda da onda; (b) a frequência da onda e (c) determinar a equação da função de onda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
  • Informações dadas:
    • Velocidade de propagação da onda: \;v = 12,4\\ \mathrm{m/s}.
    • Deslocamento máximo (amplitude) de uma partícula da corda: \;A = 4,5\\ \mathrm{cm}. (Vou converter para metros na próxima etapa.)
    • Velocidade máxima da partícula da corda: \;v_{\max} = 9,4\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas (o que o problema pede):
    (a) Calcular o comprimento de onda \lambda.
    (b) Calcular a frequência f.
    (c) Determinar a equação da função de onda (forma explícita y(x,t)).

Passo 2

Converter unidades e identificar fórmulas básicas que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Converter amplitude para metros:
    A = 4,5\\ \text{cm} = 0,045\\ \mathrm{m}.
    É importante trabalhar tudo em SI (metros, segundos).
  • Fórmulas importantes (vou explicar cada uma depois de usar):
    1. A velocidade máxima transversal de uma partícula numa onda harmônica é dada por v_{\max} = \omega A,onde \omega é a frequência angular (medida em \mathrm{rad/s}) e A é a amplitude (em metros). Isso vem da derivada temporal da função y(t)=A\sin(\omega t+\varphi): a velocidade é v_y=\partial y/\partial t = \omega A\cos(\omega t+\varphi), cujo valor máximo em módulo é \omega A.
    2. A relação entre frequência angular \omega e frequência (ciclos por segundo) f é \omega = 2\pi f.Aqui f tem unidade \mathrm{Hz} e 2\pi aparece porque uma oscilação completa tem 2\pi radianos.
    3. A relação entre velocidade de propagação v, comprimento de onda \lambda e frequência f é v = \lambda f.Intuição: em cada segundo a crista avança um número de comprimentos de onda igual a f, então a distância percorrida por segundo é \lambda f.
    4. O número de onda k está ligado ao comprimento de onda por k = \frac{2\pi}{\lambda},e também \omega = v k (porque \omega/k = v).
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo aos números do enunciado.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega usando v_{\max} = \omega A.
  • Substituindo os valores (tudo em SI): \omega = \frac{v_{\max}}{A} = \frac{9,4}{0,045}.
  • Fazer a divisão: \omega = 208,888\ldots\\ \mathrm{rad/s}.Para trabalhar com números razoáveis, mantenho \omega \approx 208,89\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação didática curta: isso significa que a partícula oscila muito rápido — cada oscilação tem uma variação angular de 2\pi radianos, e a velocidade máxima proporcional à amplitude e a essa taxa angular.

Passo 4

Calcular a frequência f a partir de \omega = 2\pi f.
  • Isolando f: f = \frac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo \omega: f = \frac{208,888\ldots}{2\pi}.
  • Avaliando numericamente (usar 2\pi \approx 6,283185307): f \approx 33,24\\ \mathrm{Hz}.
Didática: f é o número de oscilações por segundo da partícula. Se \omega é grande, f também é grande; a relação é apenas dividir por 2\pi porque uma oscilação corresponde a 2\pi radianos.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda usando v = \lambda f.
  • Isolando \lambda: \lambda = \frac{v}{f}.
  • Substituindo v = 12,4\\ \mathrm{m/s} e f \approx 33,24\\ \mathrm{Hz}: \lambda \approx \frac{12,4}{33,24} \approx 0,373\\ \mathrm{m}.
Didática: o comprimento de onda é a distância física entre duas cristas consecutivas. Com a frequência que encontramos, a onda tem comprimento aproximado de 0,373\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Encontrar o número de onda k (útil para escrever a função de onda) e explicar formas da equação.
  • Cálculo de k por k = \dfrac{2\pi}{\lambda}:
    k = \frac{2\pi}{0,373} \approx 16,84\\ \mathrm{rad/m}.
    Alternativamente pode-se usar k=\omega/v; as duas dão quase o mesmo valor (diferenças pequenas por arredondamento).
  • Forma geral de uma onda harmônica progressiva unidimensional (que vai na direção +x):
    y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi),
    onde:
    • y(x,t) é o deslocamento transversal no ponto x e tempo t,
    • A é a amplitude,
    • k é o número de onda,
    • \omega é a frequência angular,
    • \varphi é a fase inicial (ângulo de fase no instante t=0 e posição x=0).
Comentário sobre a fase: o enunciado não fornece informação sobre a fase inicial ou valor de y em x=0,t=0. Nesses casos, podemos escolher a forma mais simples com \varphi=0. Isso não é “errado”: qualquer \varphi real daria uma solução fisicamente possível, mas a escolha \varphi=0 produz uma forma simples e usual.

Passo 7

Montar a equação da onda com os valores numéricos arredondados (mantendo unidades no final).
  • Valores usados: A = 0,045\\ \mathrm{m},\quad \omega \approx 208,89\\ \mathrm{rad/s},\quad k \approx 16,84\\ \mathrm{rad/m}.
  • Escolhendo \varphi = 0 e propagação no sentido positivo de x, a equação fica: y(x,t) = 0,045\sin\bigl(16,84\,x - 208,89\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Didática e verificação rápida: derivando em relação a t obtemos a velocidade transversal
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t} = -0,045\cdot 208,89\cos(16,84x-208,89t).
O módulo máximo de v_y é 0,045\times 208,89 \approx 9,4\\ \mathrm{m/s}, que bate com o valor dado — ótima checagem!

Resposta

(a) \lambda \approx 0,373\\ \mathrm{m}
(b) f \approx 33,24\\ \mathrm{Hz}
(c) \displaystyle y(x,t)=0,045\sin\bigl(16,84\,x-208,89\,t\bigr)\\ \mathrm{m}

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