Numa corda se propaga uma onda estacionária dada por: y=0,3 \operatorname{sen} x \cos 100 t onde x e y são dados em cm e t é dado em segundos. Calcule (a) a amplitude; (b) o numero de onda; (c) o comprimento de onda; (d) a frequência; (e) a velocidade da onda. Suponha que a corda esteja vibrando num modo de vibração com \mathrm{n}=5. Calcule o comprimento da corda. R - (a) 0,3 \mathrm{~cm}; (b) 1 / \mathrm{cm}; (c) 2 \pi \mathrm{~cm}; (d) 15,9 \mathrm{~Hz}; (e) 100 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}; (f) 5 \pi \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária na corda
y = 0,3 \,\operatorname{sen} x \,\cos(100\,t)
com x e y em centímetros e t em segundos. Reconhecemos a forma padrão
y(x,t) = A \,\operatorname{sen}(kx)\,\cos(\omega t)\,
e precisamos extrair:
• amplitute A,
• número de onda k,
• comprimento de onda \lambda,
• frequência f,
• velocidade de propagação v,
e, sabendo que o modo de vibração é n=5, calcular o comprimento da corda L.

Passo 2

A amplitude A é o coeficiente que multiplica \operatorname{sen} x. Portanto
A = 0,3\\ \text{cm}.

Passo 3

O número de onda k é o fator que multiplica x dentro do seno. Como temos \operatorname{sen} x, isto equivale a
k = 1\\ \text{rad/cm} \quad\bigl(\text{ou }1\\ \text{cm}^{-1}\bigr).

Passo 4

O comprimento de onda \lambda satisfaz
k = \frac{2\pi}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2\pi}{k} = 2\pi\\ \text{cm}.

Passo 5

A frequência f vem de \omega = 100\\ \text{rad/s} pelo relacionamento
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi}\\ \text{Hz} \approx 15,9\\ \text{Hz}.

Passo 6

A velocidade de onda v é dada por
v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1}\\ \frac{\text{cm}}{\text{s}} = 100\\ \frac{\text{cm}}{\text{s}}.

Passo 7

Para um modo fixo nas duas pontas com n=5, o comprimento da corda é
L = n\,\frac{\lambda}{2} = 5\cdot\frac{2\pi}{2} = 5\pi\\ \text{cm}.

Resposta

(a) 0,3\,\text{cm}
(b) 1\,\text{cm}^{-1}
(c) 2\pi\,\text{cm}
(d) 15,9\,\text{Hz}
(e) 100\,\text{cm/s}
(f) 5\pi\,\text{cm}

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