Uma corda uniforme de 20 m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 \mathrm{~cm} para cima.
(a) Encontre a velocidade de propagação v e o comprimento de onda \lambda da onda progressiva gerada na corda.
(b) Escreya, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar.
(c) Calcule a velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e a velocidade de uma partícula situada no ponto x=0,5 \mathrm{~m} no instante t=0,1 \mathrm{~s}.
(d) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado deu e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
  • comprimento da corda: L=20\\ \mathrm{m};
  • massa total da corda: m=2\\ \mathrm{kg};
  • tensão na corda: T=10\\ \mathrm{N};
  • amplitude da oscilação na extremidade: A=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m};
  • frequência: f=5\\ \mathrm{Hz};
  • deslocamento inicial da extremidade (em t=0): y(0,0)= 1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
(a) velocidade de propagação v e comprimento de onda \lambda da onda gerada;
(b) expressão do deslocamento transversal y de um ponto da corda a distância x da extremidade, como função do tempo t;
(c) velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e velocidade de uma partícula da corda em x=0,5\\ \mathrm{m} no instante t=0,1\\ \mathrm{s};
(d) intensidade I (potência média transmitida pela onda) da onda progressiva gerada.

Passo 2

Primeiro calculemos a densidade linear de massa da corda, que é massa por unidade de comprimento. Isso serve para relacionar a tensão com a velocidade de propagação.
A definição é \mu=\dfrac{m}{L}. Substituindo:
\mu=\dfrac{2\\ \mathrm{kg}}{20\\ \mathrm{m}}=0,1\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação curta: \mu diz quanta massa há por metro da corda; é essencial porque uma corda mais pesada propaga ondas mais devagar, para a mesma tensão.

Passo 3

A velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensa é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Esta fórmula vem do equilíbrio entre força elástica (tensão) e inércia (massa por comprimento). Substituindo:
v=\sqrt{\dfrac{10}{0,1}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m/s}.
O comprimento de onda relaciona-se com a velocidade e a frequência pela relação bem conhecida
\lambda=\dfrac{v}{f}.
Substituindo v=10\\ \mathrm{m/s} e f=5\\ \mathrm{Hz}:
\lambda=\dfrac{10}{5}=2\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora precisamos escrever y(x,t). Para uma extremidade em x=0 que oscila harmonicamente, a forma geral da onda progressiva que vai para a direita (no sentido de aumentar x) é
y(x,t)=A\sin\bigl(\omega t - kx + \varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude ( 0,03\\ \mathrm{m});
  • \omega=2\pi f é a pulsação (velocidade angular) da oscilação;
  • k=\dfrac{2\pi}{\lambda} é o número de onda;
  • \varphi é a fase inicial que ajusta a condição y(0,0).
Explico: escrever assim garante que, ao pôr x=0, obtemos y(0,t)=A\sin(\omega t+\varphi), ou seja, a extremidade oscila com a mesma frequência e fase \varphi. O sinal \omega t - kx corresponde a uma onda que se desloca para a direita com velocidade v=\omega/k.

Passo 5

Calculemos \omega e k.
\omega=2\pi f = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\\ \mathrm{rad/m}.
Verificação: v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{10\pi}{\pi}=10\\ \mathrm{m/s}, consistente.
Agora determinamos \varphi usando a condição inicial y(0,0)=0,015\\ \mathrm{m}. Em x=0, t=0:
y(0,0)=A\sin(\varphi)=0,015.
Com A=0,03:
\sin(\varphi)=\dfrac{0,015}{0,03}=0,5.
Isso dá \varphi=\dfrac{\pi}{6} (há outra solução \varphi=5\pi/6, mas ambas dão o mesmo deslocamento inicial; escolhemos \varphi=\dfrac{\pi}{6} assumindo a fase menor e comportamento compatível com os sinais que calcularemos a seguir — se o problema quisesse a outra escolha, isso mudaria apenas o sinal das velocidades, e eu mencionarei quando necessário).

Passo 6

Agora escrevemos a expressão final do deslocamento substituindo todos os parâmetros:
y(x,t)=0,03\sin\bigl(10\pi t - \pi x + \tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \mathrm{m}.
Comentário pedagógico: para usar isso na prova, escreva sempre A, \omega, k e \varphi e substitua; se pedirem unidade, deixe y em metros.

Passo 7

Para a parte (c) precisamos da velocidade transversal de um ponto da corda, que é a derivada temporal de y(x,t):
v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos\bigl(\omega t - kx + \varphi\bigr).
Primeira aplicação: velocidade inicial da extremidade (em x=0, t=0):
v_y(0,0)=A\omega\cos(\varphi).
Substituindo A=0,03, \omega=10\pi e \varphi=\pi/6:
v_y(0,0)=0,03\cdot 10\pi\cdot \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =0,3\pi\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,8165\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: é a velocidade instantânea da extremidade no instante inicial; positiva significa para cima (mesmo sinal do deslocamento inicial, neste caso).

Passo 8

Agora a velocidade da partícula em x=0,5\\ \mathrm{m} no instante t=0,1\\ \mathrm{s}.
Usamos a mesma fórmula:
v_y(0{,}5,0{,}1)=A\omega\cos\bigl(\omega t - kx + \varphi\bigr).
Calculemos o argumento:
\omega t - kx + \varphi = 10\pi\cdot 0{,}1 - \pi\cdot 0{,}5 + \tfrac{\pi}{6}.
Passo a passo:
10\pi\cdot 0{,}1=\pi,\qquad \pi\cdot 0{,}5=0{,}5\pi,
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\omega t - kx + \varphi = \pi - 0{,}5\pi + \tfrac{\pi}{6} = 0{,}5\pi + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}.
Assim
v_y(0{,}5,0{,}1)=0,03\cdot 10\pi\cdot \cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =0,3\pi\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-0,15\pi\\ \mathrm{m/s} \approx -0,4712\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que, no instante dado, essa partícula da corda move-se para baixo.

Passo 9

Parte (d): intensidade (potência média) transportada por uma onda numa corda. A fórmula para a potência média transmitida por uma onda harmônica numa corda é
\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}\,A^{2}\,v.
Breve explicação: a energia numa onda é proporcional a massa (via \mu), à velocidade angular ao quadrado (porque depende da aceleração e da energia cinética/ potencial), ao quadrado da amplitude (energia escala como A^2), e à velocidade de transporte v; o fator 1/2 surge da média temporal de \sin^2 ou \cos^2.
Substituindo valores:
\mu=0,1,\quad \omega=10\pi,\quad A=0,03,\quad v=10.
Calculemos:
\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\cdot 0,1\cdot (10\pi)^{2}\cdot(0,03)^{2}\cdot 10.
Simplificando:
(10\pi)^{2}=100\pi^{2},\quad (0,03)^{2}=0,0009.
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\langle P\rangle=\tfrac{1}{2}\cdot 0,1\cdot 100\pi^{2}\cdot 0,0009\cdot 10 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,09\pi^{2}=0,045\pi^{2}\\ \mathrm{W}.
Valor numérico:
0,045\pi^{2}\approx 0,045\cdot 9{,}8696\approx 0,444\\ \mathrm{W}.
Portanto a intensidade (potência média transmitida pela onda na corda) é aproximadamente 0,444\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) v=10\\ \mathrm{m/s},\\ \lambda=2\\ \mathrm{m}
(b) y(x,t)=0,03\sin\bigl(10\pi t - \pi x + \tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \mathrm{m}
(c) v_y(0,0)\approx 0,8165\\ \mathrm{m/s};\quad v_y(0{,}5,0{,}1)\approx -0,4712\\ \mathrm{m/s}
(d) I=\langle P\rangle\approx 0,444\\ \mathrm{W}

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