Uma corda uniforme de 20 m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de
para cima.
(a) Encontre a velocidade de propagação
e o comprimento de onda
da onda progressiva gerada na corda.
(b) Escreya, como função do tempo, o deslocamento transversal
de um ponto da corda situado à distância
da extremidade que se faz oscilar.
(c) Calcule a velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e a velocidade de uma partícula situada no ponto
no instante
.
(d) Calcule a intensidade
da onda progressiva gerada.
(a) Encontre a velocidade de propagação
(b) Escreya, como função do tempo, o deslocamento transversal
(c) Calcule a velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e a velocidade de uma partícula situada no ponto
(d) Calcule a intensidade
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado deu e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
- comprimento da corda:
; - massa total da corda:
; - tensão na corda:
; - amplitude da oscilação na extremidade:
; - frequência:
; - deslocamento inicial da extremidade (em
): y(0,0)= .
O que o enunciado pede:
(a) velocidade de propagação e comprimento de onda
da onda gerada;
(b) expressão do deslocamento transversal de um ponto da corda a distância
da extremidade, como função do tempo
;
(c) velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e velocidade de uma partícula da corda em no instante
;
(d) intensidade (potência média transmitida pela onda) da onda progressiva gerada.
(a) velocidade de propagação
(b) expressão do deslocamento transversal
(c) velocidade inicial da extremidade que se faz oscilar e velocidade de uma partícula da corda em
(d) intensidade
Passo 2
Primeiro calculemos a densidade linear de massa da corda, que é massa por unidade de comprimento. Isso serve para relacionar a tensão com a velocidade de propagação.
A definição é . Substituindo:
A definição é
Explicação curta:
diz quanta massa há por metro da corda; é essencial porque uma corda mais pesada propaga ondas mais devagar, para a mesma tensão.
Passo 3
A velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensa é dada por
Esta fórmula vem do equilíbrio entre força elástica (tensão) e inércia (massa por comprimento). Substituindo:
O comprimento de onda relaciona-se com a velocidade e a frequência pela relação bem conhecida
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora precisamos escrever
. Para uma extremidade em
que oscila harmonicamente, a forma geral da onda progressiva que vai para a direita (no sentido de aumentar
) é
onde:
-
é a amplitude ( ); -
é a pulsação (velocidade angular) da oscilação; -
é o número de onda; -
é a fase inicial que ajusta a condição .
Explico: escrever assim garante que, ao pôr
, obtemos
, ou seja, a extremidade oscila com a mesma frequência e fase
. O sinal
corresponde a uma onda que se desloca para a direita com velocidade
.
Passo 5
Calculemos
e
.
Verificação:
, consistente.
Agora determinamos
usando a condição inicial
. Em
:
Com
:
Isso dá
(há outra solução
, mas ambas dão o mesmo deslocamento inicial; escolhemos
assumindo a fase menor e comportamento compatível com os sinais que calcularemos a seguir — se o problema quisesse a outra escolha, isso mudaria apenas o sinal das velocidades, e eu mencionarei quando necessário).
Passo 6
Agora escrevemos a expressão final do deslocamento substituindo todos os parâmetros:
Comentário pedagógico: para usar isso na prova, escreva sempre
,
,
e
e substitua; se pedirem unidade, deixe
em metros.
Passo 7
Para a parte (c) precisamos da velocidade transversal de um ponto da corda, que é a derivada temporal de
:
Primeira aplicação: velocidade inicial da extremidade (em
):
Substituindo
,
e
:
Interpretação: é a velocidade instantânea da extremidade no instante inicial; positiva significa para cima (mesmo sinal do deslocamento inicial, neste caso).
Passo 8
Agora a velocidade da partícula em
no instante
.
Usamos a mesma fórmula:
Usamos a mesma fórmula:
Calculemos o argumento:
Passo a passo:
logo
Assim
O sinal negativo indica que, no instante dado, essa partícula da corda move-se para baixo.
Passo 9
Parte (d): intensidade (potência média) transportada por uma onda numa corda. A fórmula para a potência média transmitida por uma onda harmônica numa corda é
Breve explicação: a energia numa onda é proporcional a massa (via
), à velocidade angular ao quadrado (porque depende da aceleração e da energia cinética/ potencial), ao quadrado da amplitude (energia escala como
), e à velocidade de transporte
; o fator
surge da média temporal de
ou
.
Substituindo valores:
Calculemos:
Simplificando:
Logo
Valor numérico:
Portanto a intensidade (potência média transmitida pela onda na corda) é aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)