Problema 4.
O fenômeno da ressonância é crucial em circuitos RLC série.
a. Defina a condição de ressonância em termos das reatâncias e da frequência angular da fonte (
).
b. O que acontece com a impedância (
) do circuito na ressonância? Qual o valor dela?
c. Qual é o ângulo de fase (
) entre a tensão da fonte e a corrente na ressonância? O que isso significa em termos de o circuito ser "capacitivo"ou “indutivo”?
d. Explique o que ocorre com a potência média (
) dissipada pelo circuito quando ele opera na frequência de ressonância. Por que sintonizadores de rádio buscam essa frequência?
a. Defina a condição de ressonância em termos das reatâncias e da frequência angular da fonte (
b. O que acontece com a impedância (
c. Qual é o ângulo de fase (
d. Explique o que ocorre com a potência média (
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um circuito série RLC alimentado por uma fonte com frequência angular
:
a. Definir a condição de ressonância em termos das reatâncias e de .
b. Dizer o que ocorre com a impedância do circuito na ressonância e qual é o seu valor.
c. Determinar o ângulo de fase entre a tensão da fonte e a corrente na ressonância e o que isso implica em termos de comportamento “capacitivo” ou “indutivo”.
d. Explicar o comportamento da potência média dissipada quando o circuito opera na frequência de ressonância e por que sintonizadores de rádio buscam essa frequência.
a. Definir a condição de ressonância em termos das reatâncias e de
b. Dizer o que ocorre com a impedância
c. Determinar o ângulo de fase
d. Explicar o comportamento da potência média
Informações explícitas que o enunciado dá e que vamos usar:
- O circuito é série com resistência
, indutância e capacitância . - Reatância indutiva:
. - Reatância capacitiva:
. - A fonte tem frequência angular
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a impedância complexa do circuito série RLC e explicar cada termo (passo didático).
- Impedância de um resistor: é real e igual a
. - Impedância de um indutor em regime senoidal (fazendo a representação fasorial) é
, cuja parte imaginária é a reatância indutiva . Aqui é a unidade imaginária ( ). - Impedância de um capacitor é
, cuja parte imaginária é .
Somando tudo (porque estão em série) temos:
Explicação das variáveis:
-
é a resistência (em ohms). -
é a frequência angular da fonte (em rad/s); aqui usamos quando falamos da fonte. -
é a indutância (em henry) e a capacitância (em farad).
A corrente fasorial é
. O módulo de
é
.
Passo 3
Agora a condição de ressonância (passo a passo, do básico ao resultado):
Ressonância em um circuito série ocorre quando a parte imaginária da impedância se anula — isto significa que a componente reativa resultante é zero e o circuito se torna puramente resistivo. Matematicamente, impomos:
Ressonância em um circuito série ocorre quando a parte imaginária da impedância se anula — isto significa que a componente reativa resultante é zero e o circuito se torna puramente resistivo. Matematicamente, impomos:
Substituindo as expressões das reatâncias:
Isolando
obtemos:
Portanto, a condição de ressonância é
, equivalente a
. Isso significa que as reatâncias indutiva e capacitiva têm mesma magnitude e sinais opostos, cancelando-se.
Passo 4
Impedância do circuito na ressonância (detalhando o porquê do valor):
Se em temos
, a impedância fica:
Se em
Assim, na ressonância o circuito série RLC apresenta impedância puramente real igual a
. Consequência prática: o módulo
atinge seu valor mínimo, que é
. Como a corrente é
, para uma dada tensão da fonte a corrente no circuito será máxima em ressonância, igual a
Observação prática: se
for muito pequeno, a corrente pode ser muito grande; por isso, em aplicações reais há perdas e limites.
Passo 5
Ângulo de fase
entre tensão e corrente e interpretação capacitivo/indutivo:
O ângulo de fase é o argumento da impedância:
O ângulo de fase é o argumento da impedância:
Na ressonância,
, logo
Isto significa que na ressonância a tensão da fonte e a corrente estão em fase (não há defasagem), comportamento puramente resistivo. Interpretação fora da ressonância:
- Se
então e ⇒ . Um ângulo negativo significa que a corrente adianta a tensão: comportamento dominado pelo capacitor (circuito capacitivo). - Se
então e ⇒ . Um ângulo positivo significa que a corrente atrasa a tensão: comportamento dominado pelo indutor (circuito indutivo).
Intuição física: abaixo da ressonância o capacitor “ganha” e faz a corrente liderar; acima, o indutor “ganha” e faz a corrente atrasar.
Passo 6
Potência média
dissipada e comportamento na ressonância (explicação com fórmulas e intuição):
A potência média fornecida pela fonte a um circuito linear senoidal é
A potência média fornecida pela fonte a um circuito linear senoidal é
onde
é o fator de potência. Para o circuito série RLC, a potência média é dissipada somente na resistência
; as reatâncias trocam energia entre si, mas não dissipam energia média. Usando
e lembrando que o termo real da impedância é
, podemos escrever também:
Na ressonância
e
, portanto
Como
é mínimo em ressonância,
é máximo, e consequentemente
é máximo (para uma mesma tensão aplicada). Resumo intuitivo: em ressonância todo o sinal da fonte “passa” com menor oposição reativa, então mais corrente percorre
e mais potência é dissipada ali.
Passo 7
Por que sintonizadores de rádio buscam a frequência de ressonância (com conceito de seletividade e fator de qualidade)?
- Um circuito ressonante (série ou paralelo, dependendo do arranjo) age como um seletor de frequência: ele responde fortemente (corrente grande em série ou tensão grande em paralelo) na frequência de ressonância
e rejeita parcialmente frequências distantes. - O fator de qualidade
(medida de quão “afiada” é a resposta em frequência) para um circuito série é
- A largura de banda (em rad/s) da resposta em torno da ressonância é aproximadamente
Se
é alto, a largura de banda é estreita: o circuito seleciona um intervalo pequeno de frequências — ideal para sintonizar uma só estação de rádio e rejeitar as outras. Em palavras simples: o sintonizador ajusta
e/ou
para que a ressonância coincida com a portadora da estação desejada; nessa frequência o sinal é amplificado relativo aos demais, facilitando a demodulação.
Força motivadora: você quer um sinal forte da estação escolhida e rejeitar as próximas; ressonância + alto
dá exatamente isso.
Resposta
a.
, ou seja
, o que implica
.
b. Na ressonância (impedância puramente real); seu valor é
(mínimo), portanto a corrente é máxima
.
c. (tensão e corrente em fase). Para
o circuito é capacitivo (corrente lidera); para
é indutivo (corrente atrasa).
d. A potência média dissipada atinge máximo na ressonância porque a corrente é máxima (reatâncias se cancelam); sintonizadores de rádio buscam essa frequência porque o circuito ressonante amplifica seletivamente a frequência desejada e, com alto
, oferece boa seletividade (estreita largura de banda) para isolar uma estação.
b. Na ressonância
c.
d. A potência média dissipada