Uma onda sonora tem amplitude de pressão da ordem de 3.0 \times 10^{-2} \mathrm{~Pa} e frequência f=1000 \mathrm{~Hz}, Considere densidade do ar \rho_{\mathrm{ar}} \neq 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e velocidade do som: 344 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (a 20^{\circ} \mathrm{C} ). Calcule: (a) a amplitude de deslocamento; (b) a intensidade absoluta e relativa; (c) comprimento de onda e o número de onda; (d) a amplitude de desolcamento quando o som estiver no limiar da dor ( 120 dB ).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos: p_a = 3{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa},
f = 1000\\ \mathrm{Hz},
c = 344\\ \mathrm{m/s},
\rho_{\mathrm{ar}} = 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}\\ \\ (\text{valor típico indicado no enunciado}).í
  • O que pedem:
    (a) a amplitude de deslocamento (amplitude da oscilação de partículas do ar) \xi_a;
    (b) a intensidade absoluta I e a intensidade relativa em decibéis \beta (referência I_0=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2});
    (c) o comprimento de onda \lambda e o número de onda k;
    (d) a amplitude de deslocamento \xi_a quando o som estiver no limiar da dor ( 120\\ \mathrm{dB}).

Passo 2

Relação entre pressão acústica e deslocamento (explicação didática):
  • Para uma onda sonora harmônica unidimensional, a velocidade de partículas máxima v_a relaciona-se com a amplitude de deslocamento \xi_a por v_a = \omega\,\xi_a,onde \omega é a frequência angular, \omega = 2\pi f. Aqui \xi_a é a amplitude de deslocamento (em metros) e v_a é amplitude da velocidade das partículas (m/s).
  • A amplitude da pressão acústica p_a está ligada à amplitude da velocidade por p_a = \rho c\, v_a,onde \rho é a densidade do ar e c é a velocidade do som. Essa expressão vem da relação entre perturbação de pressão e fluxo de massa em uma onda sonora plana.
  • Combinando as duas relações obtemos a fórmula útil para a amplitude de deslocamento: p_a = \rho c\, \omega\, \xi_aportanto \xi_a = \frac{p_a}{\rho c\, \omega}.Nestas fórmulas:
    • p_a é amplitude de pressão (Pa),
    • \rho é densidade do meio (kg/m^3),
    • c é velocidade do som (m/s),
    • \omega é frequência angular (rad/s),
    • \xi_a é amplitude de deslocamento (m).

Passo 3

Cálculo numérico da amplitude de deslocamento (item a):
  • Primeiro calcule \omega: \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 1000 \approx 2000\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 6{,}283{,}185\\ \mathrm{rad/s}.
  • Agora use \xi_a = \dfrac{p_a}{\rho c\, \omega}. Substituindo: \rho c = 1{,}2\cdot 344 = 412{,}8\\ \mathrm{kg/(m^2\\ s)}.
\rho c\,\omega = 412{,}8\cdot 6{,}283{,}185 \approx 2{,}593{,}699\\ \mathrm{(kg\cdot rad)/(m^2\\ s^2)}.
\xi_a = \frac{3{,}0\times10^{-2}}{2{,}593{,}699}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}16\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: a amplitude de deslocamento é da ordem de 10^{-8}\\ \mathrm{m} (ou seja, alguns nanômetros), muito pequena — típico de sons audíveis modestos.

Passo 4

Intensidade absoluta (item b, parte 1) — explicação e fórmula:
  • A intensidade média (fluxo de potência por área) de uma onda harmônica plana é I = \frac{p_{a}^2}{2\rho c}.Aqui p_a é a amplitude (pico) de pressão; a presença do fator 1/2 vem de média temporal para funções senoidais (rms).
  • Substituindo numericamente: I = \frac{(3{,}0\times10^{-2})^2}{2\cdot 1{,}2\cdot 344} = \frac{9{,}0\times10^{-4}}{825{,}6} \approx 1{,}09\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Interpretação: essa é a intensidade absoluta, a potência sonora por unidade de área.

Passo 5

Intensidade relativa em decibéis (item b, parte 2) — explicação e cálculo:
  • A nível sonoro em decibéis é definida por \beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),onde tipicamente I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2} (limiar de audição).
  • Substituindo I: \beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{1{,}09\times10^{-6}}{10^{-12}}\right) = 10\log_{10}(1{,}09\times10^{6}) \approx 60{,}4\\ \mathrm{dB}.
  • Observação prática: se usarmos a referência de pressão p_{\mathrm{ref}}=20\\ \mu\mathrm{Pa} e convertermos corretamente, obtém-se um valor muito próximo (diferenças pequenas por arredondamentos); portanto \beta\approx 60{,}4\\ \mathrm{dB}.

Passo 6

Comprimento de onda e número de onda (item c) — definições e cálculo:
  • O comprimento de onda é \lambda = \frac{c}{f}.Substituindo: \lambda = \frac{344}{1000} = 0{,}344\\ \mathrm{m}.
  • O número de onda (constante de propagação) é k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}.Calculando: k = \frac{2\pi}{0{,}344}\approx 18{,}27\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 7

Amplitude de deslocamento no limiar da dor 120\\ \mathrm{dB} (item d):
  • Primeiro convertemos 120\\ \mathrm{dB} em intensidade: I = I_0\cdot 10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{120/10} = 10^{-12}\cdot 10^{12} = 1\\ \mathrm{W/m^2}.
  • A amplitude de pressão correspondente (pico) satisfaz I = \dfrac{p_a^2}{2\rho c}, então p_a = \sqrt{2\rho c\, I} = \sqrt{2\cdot 1{,}2\cdot 344\cdot 1} = \sqrt{825{,}6}\approx 28{,}74\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente, a amplitude de deslocamento obtém-se pela mesma fórmula do Passo 2: \xi_a = \frac{p_a}{\rho c\, \omega} = \frac{28{,}74}{2{,}593{,}699}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}11\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: no limiar da dor a amplitude de deslocamento é da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{m} (alguns micrômetros), muito maior que no caso original.

Resposta

(a) \xi_a \approx 1{,}16\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\n
(b) I \approx 1{,}09\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2} \Rightarrow \beta \approx 60{,}4\\ \mathrm{dB}\n
(c) \lambda = 0{,}344\\ \mathrm{m} \; e \; k \approx 18{,}27\\ \mathrm{rad/m}\n
(d) \xi_a(\,120\\ \mathrm{dB}\,) \approx 1{,}11\times10^{-5}\\ \mathrm{m}

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