Uma corda de violão, feita de náilon, tem uma densidade linear de 7,0 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e está sujeita a uma tração de 130 N . Os suportes fixos estão separados por uma distância D = 86,0 cm. A corda está oscilando na forma de uma onda estacionária com 5 ventres. Calcule
a) a velocidade
b) o comprimento de onda
c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • densidade linear da corda: \mu = 7{,}0\\ \mathrm{g/m} (pegar este valor do enunciado);
  • tração na corda: T = 130\\ \mathrm{N} (pegar do enunciado);
  • distância entre os suportes (comprimento da parte vibrante da corda): D = 86{,}0\\ \mathrm{cm} (pegar do enunciado);
  • a corda está em uma onda estacionária com 5 ventres (ou seja, 5 antinodos) (pegar do enunciado).
O enunciado pede:
(a) a velocidade \,v das ondas progressivas na corda;
(b) o comprimento de onda \,\lambda das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária;
(c) a frequência \,f dessas ondas progressivas.

Passo 2

Primeiro converto as unidades para o sistema SI (sempre faça isso para evitar erro de contas).
Converter a densidade linear:
\mu = 7{,}0\\ \mathrm{g/m} = 7{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m} = 0{,}007\\ \mathrm{kg/m}.
Converter o comprimento entre suportes:
L \equiv D = 86{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}86\\ \mathrm{m}.
Mantém-se a tração como T = 130\\ \mathrm{N}.
Observação sobre os 5 ventres: em uma corda fixa nas duas extremidades, o número de ventres (antinodos) corresponde ao número do modo n. Portanto aqui n = 5.

Passo 3

Vou explicar a física e as fórmulas que vou usar, devagarinho e de forma didática.
  1. Velocidade de onda em corda tensa:
    Para uma corda com tração T e densidade linear \mu, a velocidade de propagação de pequenas ondas transversais é dada por
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
O que isso significa:
  • v é a velocidade linear das ondas progressivas que percorrem a corda (unidade \mathrm{m/s});
  • T é a força de tração que puxa a corda (unidade \mathrm{N});
  • \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (unidade \mathrm{kg/m}).
    Esta fórmula vem do equilíbrio dinâmico de um pequeno elemento da corda e da equação de ondas; intuitivamente, quanto maior a tensão mais rápido a onda, e quanto mais massiva a corda (maior \mu) mais lenta a onda.
  1. Relação entre comprimento da corda, número de ventres (modo) e comprimento de onda:
    Para uma corda fixa nas duas extremidades, o padrão estacionário do modo n tem n ventres e n+1 nós, e o comprimento da corda L contém exatamente n meias-ondas. Ou seja,
L = n\frac{\lambda}{2}.
Isolando \lambda,
\lambda = \frac{2L}{n}.
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda das ondas progressivas que se combinam para formar a onda estacionária;
  • L é o comprimento entre suportes;
  • n é o número de antinodos (ventres).
  1. Relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência para ondas progressivas:
v = \lambda f.
Ou, usando a fórmula do modo,
f = \frac{v}{\lambda} = \frac{n v}{2L}.
Aqui:
  • f é a frequência (unidade \mathrm{Hz}).

Passo 4

Calcular a velocidade v usando \;v=\sqrt{T/\mu}.
Substituo T e \mu (ambos já em SI):
v = \sqrt{\frac{130}{0{,}007}}\\ \mathrm{m/s}.
Faço a divisão:
\frac{130}{0{,}007} = 18571{,}428571\ldots
Agora a raiz quadrada:
v \approx \sqrt{18571{,}428571} \approx 136{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma consistente com os algarismos significativos dos dados (vamos dar 3 algarismos significativos, pois D tem três), apresento
v \approx 136\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \;\lambda = \dfrac{2L}{n} com n=5 e L=0{,}86\\ \mathrm{m}.
\lambda = \frac{2\cdot 0{,}86}{5} = \frac{1{,}72}{5} = 0{,}344\\ \mathrm{m}.
Então
\lambda = 0{,}344\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a frequência f usando \;f = \dfrac{v}{\lambda}.
Usando os valores calculados:
f = \frac{136{,}3}{0{,}344}\\ \mathrm{Hz} \approx 396{,}2\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para três algarismos significativos:
f \approx 396\\ \mathrm{Hz}.
Como verificação alternativa, usando f = \dfrac{n v}{2L}:
f = \frac{5\cdot 136{,}3}{2\cdot 0{,}86} = \frac{681{,}5}{1{,}72} \approx 396{,}2\\ \mathrm{Hz},
mesmo resultado (boa checagem!).

Passo 7

Resumo rápido e um empurrão final: a velocidade vem diretamente da tensão e da massa por comprimento; o comprimento de onda vem do padrão estacionário (n ventres ⇒ \lambda=2L/n); e a frequência vem de f=v/\lambda. Está tudo consistente numericamente e com a intuição: mais ventres (maior n) ⇒ menor \lambda e maior f.

Resposta

(a) v \approx 136\\ \mathrm{m/s}
(b) \lambda = 0{,}344\\ \mathrm{m}
(c) f \approx 396\\ \mathrm{Hz}

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