Uma corda de violão, feita de náilon, tem uma densidade linear de
e está sujeita a uma tração de 130 N . Os suportes fixos estão separados por uma distância D = 86,0 cm. A corda está oscilando na forma de uma onda estacionária com 5 ventres. Calcule
a) a velocidade
b) o comprimento de onda
c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária.
a) a velocidade
b) o comprimento de onda
c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- densidade linear da corda:
(pegar este valor do enunciado); - tração na corda:
(pegar do enunciado); - distância entre os suportes (comprimento da parte vibrante da corda):
(pegar do enunciado); - a corda está em uma onda estacionária com 5 ventres (ou seja, 5 antinodos) (pegar do enunciado).
O enunciado pede:
(a) a velocidade das ondas progressivas na corda;
(b) o comprimento de onda das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária;
(c) a frequência dessas ondas progressivas.
(a) a velocidade
(b) o comprimento de onda
(c) a frequência
Passo 2
Primeiro converto as unidades para o sistema SI (sempre faça isso para evitar erro de contas).
Converter a densidade linear:
Converter o comprimento entre suportes:
Mantém-se a tração como
.
Observação sobre os 5 ventres: em uma corda fixa nas duas extremidades, o número de ventres (antinodos) corresponde ao número do modo
. Portanto aqui
.
Passo 3
Vou explicar a física e as fórmulas que vou usar, devagarinho e de forma didática.
- Velocidade de onda em corda tensa:
Para uma corda com traçãoe densidade linear , a velocidade de propagação de pequenas ondas transversais é dada por
O que isso significa:
-
é a velocidade linear das ondas progressivas que percorrem a corda (unidade ); -
é a força de tração que puxa a corda (unidade ); -
é a massa por unidade de comprimento da corda (unidade ).
Esta fórmula vem do equilíbrio dinâmico de um pequeno elemento da corda e da equação de ondas; intuitivamente, quanto maior a tensão mais rápido a onda, e quanto mais massiva a corda (maior) mais lenta a onda.
- Relação entre comprimento da corda, número de ventres (modo) e comprimento de onda:
Para uma corda fixa nas duas extremidades, o padrão estacionário do modotem ventres e nós, e o comprimento da corda contém exatamente meias-ondas. Ou seja,
Isolando
,
Aqui:
-
é o comprimento de onda das ondas progressivas que se combinam para formar a onda estacionária; -
é o comprimento entre suportes; -
é o número de antinodos (ventres).
- Relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência para ondas progressivas:
Ou, usando a fórmula do modo,
Aqui:
-
é a frequência (unidade ).
Passo 4
Calcular a velocidade
usando
.
Substituo
e
(ambos já em SI):
Faço a divisão:
Agora a raiz quadrada:
Arredondando de forma consistente com os algarismos significativos dos dados (vamos dar 3 algarismos significativos, pois
tem três), apresento
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
usando
com
e
.
Então
Passo 6
Calcular a frequência
usando
.
Usando os valores calculados:
Arredondando para três algarismos significativos:
Como verificação alternativa, usando
:
mesmo resultado (boa checagem!).
Passo 7
Resumo rápido e um empurrão final: a velocidade vem diretamente da tensão e da massa por comprimento; o comprimento de onda vem do padrão estacionário (n ventres ⇒
); e a frequência vem de
. Está tudo consistente numericamente e com a intuição: mais ventres (maior
) ⇒ menor
e maior
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)