Corollary 1.2.5 Sejam
e
. Suponhamos que existam os limites
Então existem os limites, quando
se aproxima de
, das seguintes funções
caso
Passo 1
O enunciado afirma que temos duas funções
e um ponto de acumulação
. Sabemos que
com
. Queremos mostrar que existe
e que ele vale
. Usaremos o método
e o teorema de limite de produto.
Passo 2
Como
com
, existe
tal que, para
,
Daí segue
ou seja, em
a função
nunca se anula.
Passo 3
Definimos
para
suficientemente perto de
. Queremos mostrar que
. Dado
, use a desigualdade
Escolha
tal que, para
, seja
Então, sempre que
, temos
ou seja,
.
Passo 4
Agora escrevemos
Como já provamos que
pelo teorema do limite do produto concluímos que