Resolva as integrais indefinidas de funções trigonométricas dadas abaixo:
\int \operatorname{tg}^{8}(x) \operatorname{sec} ^{4}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \tan^8(x)\operatorname{sec}^4(x). Vamos usar integração de potências de \tan(x) e \operatorname{sec}(x) por substituição.

Passo 2

Reescrevemos \operatorname{sec}^4(x) como \operatorname{sec}^2(x)\cdot\operatorname{sec}^2(x) e fazemos a substituição
u=\tan(x), \quad du=\operatorname{sec}^2(x)\,dx.
Assim,
\int \tan^8(x)\,\operatorname{sec}^4(x)\,dx =\int \tan^8(x)\,\operatorname{sec}^2(x)\,\bigl(\operatorname{sec}^2(x)\,dx\bigr) =\int u^8\,(1+u^2)\,du,
pois \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x)=1+u^2.

Passo 3

Expandimos o integrando em u e integramos:
\int u^8\,(1+u^2)\,du =\int \bigl(u^8+u^{10}\bigr)\,du =\frac{u^9}{9}+\frac{u^{11}}{11}+C.

Passo 4

Voltando à variável x com u=\tan(x), obtemos
\frac{u^9}{9}+\frac{u^{11}}{11}+C =\frac{\tan^9(x)}{9}+\frac{\tan^{11}(x)}{11}+C.

Resposta

\int \tan^8(x)\,\operatorname{sec}^4(x)\,dx =\frac{\tan^9(x)}{9}+\frac{\tan^{11}(x)}{11}+C.

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