(a) Um corpo de 0,80 kg colocado sobre uma mesa horizontal é ligado a um fio que passa através de um orifício da mesa, no centro do círculo ao longo do qual o corpo se move com velocidade constante. Se o raio do círculo vale 0,50 m e se a velocidade vale 8,0 m / s, qual é a tração do fio? (b) Reduzindo-se o raio do fio para 3,0 m, a tração fica multiplicada por 4,0 . Calcule o trabalho realizado pelo fio durante a redução do raio.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m=0,80,kg preso a um fio que passa por um orifício no centro de uma mesa lisa, descrevendo movimento circular de raio r e velocidade constante v.
Para isso vamos usar
1. A expressão da força centrípeta, que aqui é dada pela tensão do fio:
T = m,v^2r,
2. A conservação do momento angular (não há torque sobre o bloco, pois a força é radial):
m,v1,r1 = m,v2,r2
3. O trabalho realizado pela força radial ao reduzir r aparece como variação na energia cinética:
W = De<a K = tfrac12 ml(v2^2 - v1^2r)

Passo 2

Para a letra (a) temos
m=0,80 kg, r1=0,50 m, v1=8,0 m/s
Logo a tensão inicial é
T1 = m,v1^2r1 = 0,80 times 8,0^20,50 = 0,80 times 640,50 =102,4 N

Passo 3

Na letra (b) diz que, ao reduzir o raio para r2, a tensão passa a ser
T2 = 4,T1
Como não há torque, o momento angular se conserva:
m,v1,r1 = m,v2,r2 Longrightarrow v2 = v1,r1r2
Também temos
T2 = m,v2^2r2 =4,T1 =4,m,v1^2r1

Passo 4

Substituindo v2=v1,dfracr1r2 em T2, obtemos
m,(v1,r1/r2)^2r2 =4,m,v1^2r1 Longrightarrow m,v1^2,r1^2r2^3 =4,m,v1^2r1 Longrightarrow r2^3 = r1^34 Longrightarrow r2 = r1raiz[,3]4
Numericamente,
r2 = 0,504^1/3approx 0,50/1,587 approx 0,315 m,
v2 = v1,r1r2 =8,0times0,500,315 approx 12,7 m/s

Passo 5

O trabalho feito ao puxar o fio é igual à variação da energia cinética:
W = tfrac12,ml(v2^2 - v1^2r) = tfrac12times0,80l(12,7^2 - 8,0^2r),J
=0,40l(161,3 - 64r) =0,40times97,3 approx38,9 J

Resposta

(a) T1 = 102,4 N.
(b) W approx 38,9 J.

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