O corpo A cai de queda livre de uma altura h. O corpo B desliza sobre um plano inclinado, com atrito, partindo da mesma altura h. Sobre qual corpo a gravidade faz o trabalho maior?
Escolha uma opção:
◯ a. A
◯ b. Faz o mesmo trabalho sobre os dois
◯ C. B
◯ a. A
◯ b. Faz o mesmo trabalho sobre os dois
◯ C. B
Passo 1
O enunciado dá duas situações: o corpo A em queda livre e o corpo B deslizando por um plano inclinado com atrito, ambos partindo da mesma altura
. A pergunta é: sobre qual corpo a força da gravidade faz trabalho maior?
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
- Ambos os corpos descem a mesma variação vertical: a partir de altura
até o nível de referência (p.ex. chão), então o deslocamento vertical é se adotarmos o eixo positivo para cima. - O corpo B sofre atrito; o corpo A não (queda livre).
- Não foi especificada massa; denote a massa de um corpo genérico por
. (Se as massas forem diferentes, o trabalho de cada uma dependerá de sua própria massa.)
Passo 2
Definição e fórmula útil: trabalho de uma força ao longo de um deslocamento é
onde
é a força e
é o elemento de deslocamento ao longo da trajetória
. Essa é a definição que vai nos guiar. Vou agora aplicar isso para a força peso (gravidade próxima da superfície).
Expressão da força peso e simplificação: perto da superfície da Terra a força peso é constante e vale , com
apontando para baixo e módulo
. Escolhendo o eixo vertical
para cima, tem-se
e portanto
.
Como é constante, o trabalho da gravidade entre a posição inicial
e final
é simplesmente o produto escalar da força pelo deslocamento total:
Expressão da força peso e simplificação: perto da superfície da Terra a força peso é constante e vale
Como
Aqui
. Logo
Observação sobre sinal: com essa escolha de eixo, o trabalho da gravidade é positivo e igual a
. Em outra convenção (por exemplo tomar
e
) chega-se ao mesmo valor numérico
para o trabalho realizado ao descer de altura
.
Passo 3
Interpretação física e independência do caminho: a expressão que obtivemos depende apenas da variação vertical
e da massa
, não do caminho seguido. Isso é porque a força gravitacional é conservativa (para o campo uniforme próximo da Terra) — o trabalho realizado entre dois pontos depende só da diferença de altura entre eles, não da trajetória. Portanto, qualquer objeto que desça da mesma altura
terá, pela gravidade, o mesmo trabalho (para a mesma massa).
Aplicando ao problema: tanto o corpo A (queda livre) quanto o corpo B (deslizando pelo plano inclinado) descem a mesma altura . Portanto, para massas iguais
vale
Aplicando ao problema: tanto o corpo A (queda livre) quanto o corpo B (deslizando pelo plano inclinado) descem a mesma altura
Se as massas fossem diferentes
e
, então
e
; mas o enunciado sugere comparar as duas situações de descida da mesma altura, então a conclusão padrão é que o trabalho da gravidade é o mesmo para os dois corpos (assumindo mesmas massas ou comparando trabalho por unidade de massa).
Importante: o atrito no plano inclinado faz trabalho negativo sobre , reduzindo sua energia mecânica, mas isso não altera o valor do trabalho feito pela gravidade — muda é o trabalho total realizado pelas forças resultantes e, portanto, a velocidade final de
, não o trabalho da gravidade em si.
Importante: o atrito no plano inclinado faz trabalho negativo sobre
Passo 4
Resumo didático curto (como lembrar na prova): força peso é conservativa e seu trabalho entre dois níveis verticalmente separados por
vale sempre
(ou
). Logo, sempre que dois objetos descem a mesma altura, a gravidade faz o mesmo trabalho sobre eles — independente de atrito, plano, curva, etc.
Resposta
b. Faz o mesmo trabalho sobre os dois