O corpo A cai de queda livre de uma altura h. O corpo B desliza sobre um plano inclinado, com atrito, partindo da mesma altura h. Sobre qual corpo a gravidade faz o trabalho maior?
Escolha uma opção:
◯ a. A
◯ b. Faz o mesmo trabalho sobre os dois
◯ C. B

Passo 1

O enunciado dá duas situações: o corpo A em queda livre e o corpo B deslizando por um plano inclinado com atrito, ambos partindo da mesma altura h. A pergunta é: sobre qual corpo a força da gravidade faz trabalho maior?
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
  • Ambos os corpos descem a mesma variação vertical: a partir de altura h até o nível de referência (p.ex. chão), então o deslocamento vertical é -h se adotarmos o eixo y positivo para cima.
  • O corpo B sofre atrito; o corpo A não (queda livre).
  • Não foi especificada massa; denote a massa de um corpo genérico por m. (Se as massas forem diferentes, o trabalho de cada uma dependerá de sua própria massa.)

Passo 2

Definição e fórmula útil: trabalho de uma força ao longo de um deslocamento é
W=\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \vec{F} é a força e d\vec{r} é o elemento de deslocamento ao longo da trajetória \mathcal{C}. Essa é a definição que vai nos guiar. Vou agora aplicar isso para a força peso (gravidade próxima da superfície).
Expressão da força peso e simplificação: perto da superfície da Terra a força peso é constante e vale \vec{F}_g=m\vec{g}, com \vec{g} apontando para baixo e módulo g. Escolhendo o eixo vertical \hat{y} para cima, tem-se \vec{g}=-g\hat{y} e portanto \vec{F}_g=-mg\hat{y}.
Como \vec{F}_g é constante, o trabalho da gravidade entre a posição inicial y_i=h e final y_f=0 é simplesmente o produto escalar da força pelo deslocamento total:
W_g=\vec{F}_g\cdot\Delta\vec{r}=\vec{F}_g\cdot( \vec{r}_f-\vec{r}_i).
Aqui \Delta\vec{r}=(0,-h)=-h\hat{y}. Logo
W_g = (-mg\hat{y})\cdot(-h\hat{y}) = mgh.
Observação sobre sinal: com essa escolha de eixo, o trabalho da gravidade é positivo e igual a mgh. Em outra convenção (por exemplo tomar U=mgh e W_g=-\Delta U) chega-se ao mesmo valor numérico mgh para o trabalho realizado ao descer de altura h.

Passo 3

Interpretação física e independência do caminho: a expressão que obtivemos depende apenas da variação vertical h e da massa m, não do caminho seguido. Isso é porque a força gravitacional é conservativa (para o campo uniforme próximo da Terra) — o trabalho realizado entre dois pontos depende só da diferença de altura entre eles, não da trajetória. Portanto, qualquer objeto que desça da mesma altura h terá, pela gravidade, o mesmo trabalho (para a mesma massa).
Aplicando ao problema: tanto o corpo A (queda livre) quanto o corpo B (deslizando pelo plano inclinado) descem a mesma altura h. Portanto, para massas iguais m vale
W_{g,A}=mgh\quad\text{e}\quad W_{g,B}=mgh.
Se as massas fossem diferentes m_A e m_B, então W_{g,A}=m_A g h e W_{g,B}=m_B g h; mas o enunciado sugere comparar as duas situações de descida da mesma altura, então a conclusão padrão é que o trabalho da gravidade é o mesmo para os dois corpos (assumindo mesmas massas ou comparando trabalho por unidade de massa).
Importante: o atrito no plano inclinado faz trabalho negativo sobre B, reduzindo sua energia mecânica, mas isso não altera o valor do trabalho feito pela gravidade — muda é o trabalho total realizado pelas forças resultantes e, portanto, a velocidade final de B, não o trabalho da gravidade em si.

Passo 4

Resumo didático curto (como lembrar na prova): força peso é conservativa e seu trabalho entre dois níveis verticalmente separados por h vale sempre mgh (ou -\Delta U). Logo, sempre que dois objetos descem a mesma altura, a gravidade faz o mesmo trabalho sobre eles — independente de atrito, plano, curva, etc.

Resposta

b. Faz o mesmo trabalho sobre os dois

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