7- Um corpo descrevendo movimento circular uniforme consegue realizar 480 voltas em um tempo de 120 segundos em torno de uma circunferência de raio 0,5 \mathrm{~m}. De acordo com essas informações, determine o período, a frequência, a aceleração centrípeta e a velocidade do corpo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro grandezas (peguei tudo do enunciado):
  • Número de voltas: N=480 (voltas).
  • Tempo total: t=120\\ \mathrm{s}.
  • Raio da circunferência: r=0,5\\ \mathrm{m}.
O que é pedido:
  • Período T (tempo de uma volta).
  • Frequência f (voltas por segundo).
  • Velocidade escalar (módulo da velocidade) v.
  • Aceleração centrípeta a_{c}.

Passo 2

Definição e cálculo da frequência f.
Explicação do conceito: a frequência f é o número de voltas (ciclos) realizadas por unidade de tempo. Se em t segundos o objeto faz N voltas, então
f=\frac{N}{t}.
Aqui N é o número de voltas (adimensional) e t é o tempo em segundos; a unidade de f é o hertz ( \mathrm{Hz}), que significa “ciclos por segundo”.
Cálculo com os números dados:
f=\frac{480}{120}=4\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Definição e cálculo do período T.
Explicação do conceito: o período T é o tempo que o corpo leva para fazer uma volta completa. É o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}.
Aqui T tem unidade de segundos.
Cálculo com o valor de f encontrado:
T=\frac{1}{4}=0,25\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Relacionamento entre velocidade linear v e frequência (ou período) e cálculo de v.
Explicação do conceito: em movimento circular uniforme a velocidade escalar (módulo da velocidade) é a distância percorrida por unidade de tempo. Em uma volta completa o corpo percorre a circunferência de comprimento 2\pi r. Se faz f voltas por segundo, a velocidade é
v=(\text{comprimento da volta})\times(\text{voltas por segundo})=2\pi r f.
Aqui r é o raio em metros, f em \mathrm{Hz}, e v em \mathrm{m/s}.
Cálculo com r=0,5\\ \mathrm{m} e f=4\\ \mathrm{Hz}:
v=2\pi(0,5)\cdot 4=4\pi\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico aproximado (usar \pi\approx3,14159):
v\approx 4\cdot 3,14159 \approx 12,57\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Definição e cálculo da aceleração centrípeta a_{c}.
Explicação do conceito: em movimento circular uniforme a velocidade muda de direção constantemente, então existe uma aceleração dirigida ao centro da circunferência chamada aceleração centrípeta. A fórmula básica é
a_{c}=\frac{v^{2}}{r},
onde v é a velocidade escalar e r o raio. Outra forma útil, escrevendo v=2\pi r f, é
a_{c}=(2\pi f)^{2} r.
Ambas são equivalentes; as unidades de a_{c} são \mathrm{m/s^{2}}.
Cálculo usando v=4\pi\\ \mathrm{m/s} e r=0,5\\ \mathrm{m}:
a_{c}=\frac{(4\pi)^{2}}{0,5}=\frac{16\pi^{2}}{0,5}=32\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Valor numérico aproximado (usar \pi^{2}\approx 9,8696):
a_{c}\approx 32\cdot 9,8696 \approx 315,83\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (checa de consistência): usar a forma alternativa a_{c}=(2\pi f)^{2} r.
Com f=4\\ \mathrm{Hz} tem-se 2\pi f=8\pi, então
a_{c}=(8\pi)^{2}\cdot 0,5=64\pi^{2}\cdot 0,5=32\pi^{2},
o que confere com o cálculo anterior.

Resposta

T=0,25\\ \mathrm{s}
f=4\\ \mathrm{Hz}
v=4\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 12,57\\ \mathrm{m/s}
a_{c}=32\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 315,83\\ \mathrm{m/s^{2}}

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