Um corpo de forma irregular gasta
mais tempo, que uma esfera de raio igual a
, para sedimentar em um líquido de viscosidade 100 mP . Sabendo que o corpo irregular e a esfera são construídos com a mesma massa do mesmo material, calcule o fator de fricção do corpo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Um corpo de forma irregular leva
mais tempo que uma esfera para sedimentar no mesmo líquido. - A esfera tem raio
. - A viscosidade do líquido é
. - O corpo irregular e a esfera têm a mesma massa e são do mesmo material.
- Pergunta: calcule o fator de fricção do corpo irregular (isto é, quanto a fricção do corpo irregular é maior ou menor que a da esfera).
Informações relevantes agrupadas:
- Tempo de sedimentação do corpo irregular
e da esfera satisfazem . - Mesma massa e mesmo material
mesma densidade e, portanto, mesmo volume para os dois corpos. - Raio da esfera
(essa informação determina o volume da esfera, e como as massas são iguais, o volume do corpo irregular é igual a esse).
Passo 2
Conceito físico básico (explicado devagar): quando um corpo sedimenta em um líquido e atinge movimento uniforme (velocidade terminal), as forças verticais se equilibram: peso para baixo, empuxo para cima e força de arrasto (atrito viscoso) para cima. Vamos definir variáveis e escrever o equilíbrio:
-
= massa do corpo (é a mesma para os dois). -
= volume do corpo (mesmo para os dois, porque massa e material iguais). -
= densidade do fluido. -
= aceleração da gravidade. -
= coeficiente de fricção (força de arrasto linearizada, tal que força de arrasto = para velocidades pequenas; este tem unidades de massa/tempo). -
= velocidade terminal.
Equilíbrio de forças no regime terminal:
Isolando a velocidade terminal
:
Aqui cada termo significa:
-
é o peso do corpo. -
é o empuxo (peso do fluido deslocado). -
é a força de arrasto (modelo linear, adequado para baixos números de Reynolds ou quando se define um coeficiente de fricção proporcional à velocidade).
Passo 3
Comparação entre os dois corpos usando a expressão de
.
Como o enunciado garante que a esfera e o corpo irregular têm a mesma massa e o mesmo material, temos
e
idênticos para os dois. Portanto o numerador
é igual tanto para a esfera quanto para o corpo irregular. Chamando
o coeficiente de fricção da esfera e
o coeficiente do corpo irregular, obtemos as velocidades terminais:
Dividindo membro a membro:
Ou seja: a velocidade terminal é inversamente proporcional ao coeficiente de fricção.
Passo 4
Relação entre tempo de sedimentação e velocidade terminal.
Se ambos percorrem a mesma distância
para sedimentar (por exemplo, a mesma altura do tubo), o tempo de sedimentação é
. Assim:
Usando a relação do passo anterior
, temos
Portanto o quociente dos tempos é igual ao quociente dos coeficientes de fricção.
Passo 5
Aplicando o dado numérico
.
Da relação do passo anterior:
Logo o fator de fricção do corpo irregular em relação à esfera é
. Em palavras: o coeficiente de fricção do corpo irregular é
maior que o da esfera.
Passo 6
Interpretação final e observação prática (pequena aula extra):
- O “fator de fricção” aqui foi interpretado como a razão
. Isso faz sentido porque a massa e o volume são iguais, então a única coisa que muda a velocidade terminal é a fricção. - Se quiséssemos o valor numérico absoluto de
, poderíamos usar a expressão de Stokes para a esfera (válida no regime de Stokes). Com e teríamos um valor numérico para e então . Mas como a questão pede apenas o fator, isso não é necessário.