Um corpo de forma irregular gasta 20 \% mais tempo, que uma esfera de raio igual a 0,5 \mathrm{~cm}, para sedimentar em um líquido de viscosidade 100 mP . Sabendo que o corpo irregular e a esfera são construídos com a mesma massa do mesmo material, calcule o fator de fricção do corpo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Um corpo de forma irregular leva 20\% mais tempo que uma esfera para sedimentar no mesmo líquido.
  • A esfera tem raio 0,5\\ \mathrm{cm}.
  • A viscosidade do líquido é 100\\ \mathrm{mP}.
  • O corpo irregular e a esfera têm a mesma massa e são do mesmo material.
  • Pergunta: calcule o fator de fricção do corpo irregular (isto é, quanto a fricção do corpo irregular é maior ou menor que a da esfera).
Informações relevantes agrupadas:
  • Tempo de sedimentação do corpo irregular t_{\text{ir}} e da esfera t_s satisfazem t_{\text{ir}} = 1{,}20\,t_s.
  • Mesma massa e mesmo material \Rightarrow mesma densidade e, portanto, mesmo volume para os dois corpos.
  • Raio da esfera r_s = 0{,}5\\ \mathrm{cm} (essa informação determina o volume da esfera, e como as massas são iguais, o volume do corpo irregular é igual a esse).

Passo 2

Conceito físico básico (explicado devagar): quando um corpo sedimenta em um líquido e atinge movimento uniforme (velocidade terminal), as forças verticais se equilibram: peso para baixo, empuxo para cima e força de arrasto (atrito viscoso) para cima. Vamos definir variáveis e escrever o equilíbrio:
  • m = massa do corpo (é a mesma para os dois).
  • V = volume do corpo (mesmo para os dois, porque massa e material iguais).
  • \rho_{\text{fl}} = densidade do fluido.
  • g = aceleração da gravidade.
  • f = coeficiente de fricção (força de arrasto linearizada, tal que força de arrasto = f\,v para velocidades pequenas; este f tem unidades de massa/tempo).
  • v = velocidade terminal.
Equilíbrio de forças no regime terminal:
m g - \rho_{\text{fl}} V g - f\,v = 0.
Isolando a velocidade terminal v:
v = \frac{(m - \rho_{\text{fl}} V)\,g}{f}.
Aqui cada termo significa:
  • m g é o peso do corpo.
  • \rho_{\text{fl}}Vg é o empuxo (peso do fluido deslocado).
  • f\,v é a força de arrasto (modelo linear, adequado para baixos números de Reynolds ou quando se define um coeficiente de fricção proporcional à velocidade).

Passo 3

Comparação entre os dois corpos usando a expressão de v.
Como o enunciado garante que a esfera e o corpo irregular têm a mesma massa e o mesmo material, temos m e V idênticos para os dois. Portanto o numerador (m - \rho_{\text{fl}} V)\,g é igual tanto para a esfera quanto para o corpo irregular. Chamando f_s o coeficiente de fricção da esfera e f_{\text{ir}} o coeficiente do corpo irregular, obtemos as velocidades terminais:
v_s = \frac{(m - \rho_{\text{fl}} V)\,g}{f_s},\qquad v_{\text{ir}} = \frac{(m - \rho_{\text{fl}} V)\,g}{f_{\text{ir}}}.
Dividindo membro a membro:
\frac{v_{\text{ir}}}{v_s} = \frac{f_s}{f_{\text{ir}}}.
Ou seja: a velocidade terminal é inversamente proporcional ao coeficiente de fricção.

Passo 4

Relação entre tempo de sedimentação e velocidade terminal.
Se ambos percorrem a mesma distância L para sedimentar (por exemplo, a mesma altura do tubo), o tempo de sedimentação é t = L/v. Assim:
\frac{t_{\text{ir}}}{t_s} = \frac{v_s}{v_{\text{ir}}}.
Usando a relação do passo anterior \dfrac{v_{\text{ir}}}{v_s}=\dfrac{f_s}{f_{\text{ir}}}, temos
\frac{t_{\text{ir}}}{t_s} = \frac{v_s}{v_{\text{ir}}} = \frac{f_{\text{ir}}}{f_s}.
Portanto o quociente dos tempos é igual ao quociente dos coeficientes de fricção.

Passo 5

Aplicando o dado numérico t_{\text{ir}} = 1{,}20\,t_s.
Da relação do passo anterior:
\frac{t_{\text{ir}}}{t_s} = \frac{f_{\text{ir}}}{f_s} = 1{,}20.
Logo o fator de fricção do corpo irregular em relação à esfera é 1{,}20. Em palavras: o coeficiente de fricção do corpo irregular é 20\% maior que o da esfera.

Passo 6

Interpretação final e observação prática (pequena aula extra):
  • O “fator de fricção” aqui foi interpretado como a razão \dfrac{f_{\text{ir}}}{f_s}. Isso faz sentido porque a massa e o volume são iguais, então a única coisa que muda a velocidade terminal é a fricção.
  • Se quiséssemos o valor numérico absoluto de f_{\text{ir}}, poderíamos usar a expressão de Stokes para a esfera \,f_s = 6\pi \eta r_s (válida no regime de Stokes). Com \eta=100\\ \mathrm{mP}=0{,}1\\ \mathrm{P} e r_s=0{,}5\\ \mathrm{cm} teríamos um valor numérico para f_s e então f_{\text{ir}}=1{,}20\,f_s. Mas como a questão pede apenas o fator, isso não é necessário.

Resposta

1{,}20

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