A extremidade de um tubo capilar de 10 cm de comprimento e de 1 mm de diâmetro é conectada a um reservatório de água. Sobre essa extremidade, a pressão reinante é de 2 atm . Sabendo que o coeficiente de viscosidade da água é de 0,01 \mathrm{P}, que volume de água escoará pelo tubo, para o ambiente, em 5 minutos?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o volume que escoa em 5 minutos:
  • Comprimento do tubo: L=10\\ \text{cm}.
  • Diâmetro do tubo: d=1\\ \text{mm}.
  • Pressão na extremidade ligada ao reservatório: 2\\ \text{atm}.
  • Pressão no ambiente (saída): 1\\ \text{atm} (pressão atmosférica).
  • Coeficiente de viscosidade da água: \mu=0{,}01\\ \mathrm{P}.
  • Intervalo de tempo: t=5\\ \text{min}.
O que se pede: o volume de água que sairá pelo tubo para o ambiente em t=5\\ \text{min}.

Passo 2

Método escolhido e fórmula principal (explicação didática): para escoamento laminar, estacionário e totalmente desenvolvido num tubo circular usamos a Lei de Hagen–Poiseuille para a vazão volumétrica média Q. A fórmula é
Q=\frac{\pi r^{4}\,\Delta P}{8\mu L},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica (m³/s);
  • r é o raio interno do tubo (m);
  • \Delta P é a diferença de pressão entre entrada e saída (Pa);
  • \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s);
  • L é o comprimento do tubo (m).
Breve explicação física: essa fórmula vem da solução da equação de Navier–Stokes para escoamento laminar, estacionário e simétrico em tubo cilíndrico. Ela assume que o fluido é newtoniano e que o escoamento permanece laminar (não turbulento). Vou calcular com essa fórmula e, depois, verificar se a hipótese de fluxo laminar é razoável (checando o número de Reynolds).

Passo 3

Conversões de unidades e cálculos dos parâmetros:
  • Converter comprimento: L=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}.
  • Converter diâmetro e obter o raio: d=1\\ \text{mm}=0{,}001\\ \text{m}, então r=\dfrac{d}{2}=0{,}0005\\ \text{m}.
  • Diferença de pressão: entrada 2\\ \text{atm}, saída 1\\ \text{atm}, logo \Delta P=1\\ \text{atm}. Converter para SI usando 1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa}: \Delta P=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Viscosidade: dado \mu=0{,}01\\ \mathrm{P}. Lembrando que 1\\ \mathrm{P}=0{,}1\\ \mathrm{Pa\cdot s}, então \mu=0{,}01\times0{,}1=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Tempo: t=5\\ \text{min}=300\\ \text{s}.

Passo 4

Cálculo da vazão Q aplicando a fórmula de Poiseuille. Primeiro calcule r^{4}:
r^{4}=(5\times10^{-4}\\ \text{m})^{4}=6{,}25\times10^{-14}\\ \mathrm{m^{4}}.
Agora calcule o numerador \pi r^{4}\Delta P:
\pi r^{4}\Delta P=\pi\times6{,}25\times10^{-14}\times1{,}013\times10^{5} = \pi\times6{,}33125\times10^{-9} \approx1{,}9881\times10^{-8}.
Calcule o denominador 8\mu L:
8\mu L=8\times0{,}001\times0{,}10=8{,}0\times10^{-4}=8{,}0\times10^{-4}.
Dividindo para obter Q:
Q=\frac{1{,}9881\times10^{-8}}{8{,}0\times10^{-4}} =2{,}485125\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Para ficar mais legível, escrevemos
Q\approx2{,}485\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Cálculo do volume que escoa em t=300\\ \text{s}:
V=Q\,t=(2{,}485125\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s})\times300\\ \mathrm{s} =7{,}455375\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Converter para litros ( 1\\ \mathrm{m^{3}}=1000\\ \mathrm{L}):
V=7{,}455375\\ \mathrm{L}\approx7{,}46\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Verificação da hipótese de escoamento laminar (número de Reynolds) — importância didática: a Lei de Poiseuille só vale bem quando o escoamento é laminar (tipicamente Re\lesssim2000). O número de Reynolds médio é
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu},
onde v é a velocidade média e D o diâmetro. Primeiro a área da seção:
A=\pi r^{2}=\pi\times(5\times10^{-4})^{2}=\pi\times2{,}5\times10^{-7}\approx7{,}854\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média v=Q/A:
v=\frac{2{,}485125\times10^{-5}}{7{,}854\times10^{-7}}\approx31{,}64\\ \mathrm{m/s}.
Tomando \rho da água \approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e D=0{,}001\\ \mathrm{m}, \mu=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
\mathrm{Re}=\frac{1000\times31{,}64\times0{,}001}{0{,}001}\approx3{,}16\times10^{4}.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx3{,}16\times10^{4}\gg2000, isto é, o escoamento seria turbulento. Portanto, estritamente falando, a aplicação da Lei de Poiseuille (que assume escoamento laminar) não é válida neste caso; o cálculo acima superestima o escoamento real — o escoamento turbulento reduz a vazão para a mesma diferença de pressão. Contudo, como o enunciado pediu utilizar os dados fornecidos (especialmente a viscosidade) e tipicamente exercícios desse tipo aplicam Poiseuille, dei o resultado assumindo escoamento laminar e expliquei a limitação.

Resposta

7{,}46\\ \mathrm{L}

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