A extremidade de um tubo capilar de 10 cm de comprimento e de 1 mm de diâmetro é conectada a um reservatório de água. Sobre essa extremidade, a pressão reinante é de 2 atm . Sabendo que o coeficiente de viscosidade da água é de
, que volume de água escoará pelo tubo, para o ambiente, em 5 minutos?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o volume que escoa em 5 minutos:
- Comprimento do tubo:
. - Diâmetro do tubo:
. - Pressão na extremidade ligada ao reservatório:
. - Pressão no ambiente (saída):
(pressão atmosférica). - Coeficiente de viscosidade da água:
. - Intervalo de tempo:
.
O que se pede: o volume de água que sairá pelo tubo para o ambiente em
.
Passo 2
Método escolhido e fórmula principal (explicação didática): para escoamento laminar, estacionário e totalmente desenvolvido num tubo circular usamos a Lei de Hagen–Poiseuille para a vazão volumétrica média
. A fórmula é
onde:
-
é a vazão volumétrica (m³/s); -
é o raio interno do tubo (m); -
é a diferença de pressão entre entrada e saída (Pa); -
é a viscosidade dinâmica (Pa·s); -
é o comprimento do tubo (m).
Breve explicação física: essa fórmula vem da solução da equação de Navier–Stokes para escoamento laminar, estacionário e simétrico em tubo cilíndrico. Ela assume que o fluido é newtoniano e que o escoamento permanece laminar (não turbulento). Vou calcular com essa fórmula e, depois, verificar se a hipótese de fluxo laminar é razoável (checando o número de Reynolds).
Passo 3
Conversões de unidades e cálculos dos parâmetros:
- Converter comprimento:
. - Converter diâmetro e obter o raio:
, então . - Diferença de pressão: entrada
, saída , logo . Converter para SI usando : - Viscosidade: dado
. Lembrando que , então - Tempo:
.
Passo 4
Cálculo da vazão
aplicando a fórmula de Poiseuille. Primeiro calcule
:
Agora calcule o numerador
:
Calcule o denominador
:
Dividindo para obter
:
Para ficar mais legível, escrevemos
Passo 5
Cálculo do volume que escoa em
:
Converter para litros (
):
Passo 6
Verificação da hipótese de escoamento laminar (número de Reynolds) — importância didática: a Lei de Poiseuille só vale bem quando o escoamento é laminar (tipicamente
). O número de Reynolds médio é
onde
é a velocidade média e
o diâmetro. Primeiro a área da seção:
Velocidade média
:
Tomando
da água
e
,
:
Conclusão:
, isto é, o escoamento seria turbulento. Portanto, estritamente falando, a aplicação da Lei de Poiseuille (que assume escoamento laminar) não é válida neste caso; o cálculo acima superestima o escoamento real — o escoamento turbulento reduz a vazão para a mesma diferença de pressão. Contudo, como o enunciado pediu utilizar os dados fornecidos (especialmente a viscosidade) e tipicamente exercícios desse tipo aplicam Poiseuille, dei o resultado assumindo escoamento laminar e expliquei a limitação.