Na temperatura de
, hélio (
) escoa de um reservatório para o meio ambiente através de uma tubulação com
de comprimento e
de diâmetro. Quando hidrogênio (
) escoa pela mesma tubulação, e a pressão do reservatório é o dobro da pressão do hélio, a vazão do hidrogênio, medida nas mesmas condições, é dez vezes maior que a do hélio. Calcule a pressão do reservatório quando o mesmo contém hélio.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a pressão do reservatório quando ele contém hélio.
Dados fornecidos:
quando o reservatório contém hidrogênio a pressão do reservatório é o dobro da pressão usada no caso do hélio (ou seja,
), e a vazão volumétrica do hidrogênio, medida nas mesmas condições, é 10 vezes a do hélio:
Chamarei a pressão do reservatório no caso do hélio de
e a pressão ambiente de
. A meta é encontrar
(a pressão absoluta do reservatório quando contém hélio).
Passo 2
Qual é a lei física que usamos (a ideia e a fórmula):
Para escoamento laminar e viscoso em um tubo cilíndrico longo temos a lei de Poiseuille para vazão volumétrica (essa fórmula relaciona a vazão com a diferença de pressão, viscosidade e geometria do tubo):
Para escoamento laminar e viscoso em um tubo cilíndrico longo temos a lei de Poiseuille para vazão volumétrica (essa fórmula relaciona a vazão com a diferença de pressão, viscosidade e geometria do tubo):
onde
-
é a vazão volumétrica (m³/s) medida nas condições locais; -
é o raio interno do tubo (m); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (em mesmas unidades para ambos os gases); -
é o comprimento do tubo (m); -
é a diferença de pressão entre entrada e saída do tubo (Pa), isto é .
Explicação didática curta: a fórmula diz que vazão é proporcional à diferença de pressão (quanto maior a pressão no reservatório em relação ao ambiente, maior o escoamento) e ao quarto poder do raio (pequena variação no raio muda muito a vazão), e é inversamente proporcional à viscosidade (fluido menos viscoso escoa mais fácil) e ao comprimento do tubo (tubo mais longo aumenta a resistência).
Observação sobre gases: usamos aqui a forma da lei de Poiseuille para vazão volumétrica. Para escoamentos laminares e regime em que as variações de densidade não introduzem efeitos de compressibilidade que alterem a proporcionalidade direta entre
e
(caso típico em tubos finos e quedas de pressão moderadas), a relação acima serve para comparar as vazões relativas. Como o enunciado fornece as vazões medidas “nas mesmas condições” e pede uma razão experimental (10 vezes) entre vazões quando se duplicou a pressão de reservatório para o outro gás, é legítimo usar a relação linear
e cancelar fatores geométricos comuns (
,
,
). Assim usaremos:
Passo 3
Escrevendo a razão entre as vazões dos dois casos:
Para hélio (reservatório em ) tem-se
Para hélio (reservatório em
Para hidrogênio (reservatório duplicado) tem-se
Pela proporcionalidade
,
Pelo enunciado,
. Logo:
Passo 4
Substituir a razão das viscosidades e resolver para
.
Defino
Então da equação do passo anterior:
Isolando a fração:
Chamo
. Numericamente
Agora resolvo a equação linear em
:
Desenvolvendo:
Agrupando termos com
de um lado e com
do outro:
Portanto
Substituindo
:
Passo 5
Interpretação e conversão numérica:
A solução dá a pressão absoluta do reservatório (quando contém hélio) como aproximadamente vezes a pressão ambiente. Tomando pressão atmosférica padrão
(ou
), obtemos:
A solução dá a pressão absoluta do reservatório (quando contém hélio) como aproximadamente
A pressão manométrica (acima da atmosfera) é