Na temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, hélio ( \eta=194 \mu \mathrm{P} ) escoa de um reservatório para o meio ambiente através de uma tubulação com 11,5 \mathrm{~m} de comprimento e 0,2 \mathrm{~cm} de diâmetro. Quando hidrogênio ( \eta=87 \mathrm{mP} ) escoa pela mesma tubulação, e a pressão do reservatório é o dobro da pressão do hélio, a vazão do hidrogênio, medida nas mesmas condições, é dez vezes maior que a do hélio. Calcule a pressão do reservatório quando o mesmo contém hélio.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a pressão do reservatório quando ele contém hélio.
Dados fornecidos:
\text{Temperatura }=25^\circ\mathrm{C},
\text{tubo: comprimento }L=11,5\\ \mathrm{m},\\ \text{diâmetro }d=0,2\\ \mathrm{cm},â
\eta_{\text{He}}=194\\ \mu\mathrm{P},
\eta_{\mathrm{H_2}}=87\\ \mu\mathrm{P}\\ (\text{valor fornecido; usaremos a razão das viscosidades}),ã
quando o reservatório contém hidrogênio a pressão do reservatório é o dobro da pressão usada no caso do hélio (ou seja, P_{\mathrm{res},H_2}=2P_{\mathrm{res},He}), e a vazão volumétrica do hidrogênio, medida nas mesmas condições, é 10 vezes a do hélio:
Q_{H_2}=10\,Q_{He}.
Chamarei a pressão do reservatório no caso do hélio de P e a pressão ambiente de P_a. A meta é encontrar P (a pressão absoluta do reservatório quando contém hélio).

Passo 2

Qual é a lei física que usamos (a ideia e a fórmula):
Para escoamento laminar e viscoso em um tubo cilíndrico longo temos a lei de Poiseuille para vazão volumétrica (essa fórmula relaciona a vazão com a diferença de pressão, viscosidade e geometria do tubo):
Q=\frac{\pi r^{4}}{8\eta L}\,\Delta P,
onde
  • Q é a vazão volumétrica (m³/s) medida nas condições locais;
  • r é o raio interno do tubo (m);
  • \eta é a viscosidade dinâmica do fluido (em mesmas unidades para ambos os gases);
  • L é o comprimento do tubo (m);
  • \Delta P é a diferença de pressão entre entrada e saída do tubo (Pa), isto é \Delta P=P_{\text{res}}-P_a.
Explicação didática curta: a fórmula diz que vazão é proporcional à diferença de pressão (quanto maior a pressão no reservatório em relação ao ambiente, maior o escoamento) e ao quarto poder do raio (pequena variação no raio muda muito a vazão), e é inversamente proporcional à viscosidade (fluido menos viscoso escoa mais fácil) e ao comprimento do tubo (tubo mais longo aumenta a resistência).
Observação sobre gases: usamos aqui a forma da lei de Poiseuille para vazão volumétrica. Para escoamentos laminares e regime em que as variações de densidade não introduzem efeitos de compressibilidade que alterem a proporcionalidade direta entre Q e \Delta P (caso típico em tubos finos e quedas de pressão moderadas), a relação acima serve para comparar as vazões relativas. Como o enunciado fornece as vazões medidas “nas mesmas condições” e pede uma razão experimental (10 vezes) entre vazões quando se duplicou a pressão de reservatório para o outro gás, é legítimo usar a relação linear Q\propto \Delta P/\eta e cancelar fatores geométricos comuns ( r, L, \pi). Assim usaremos:
Q\propto\frac{\Delta P}{\eta}.

Passo 3

Escrevendo a razão entre as vazões dos dois casos:
Para hélio (reservatório em P) tem-se
\Delta P_{He}=P-P_a.
Para hidrogênio (reservatório duplicado) tem-se
\Delta P_{H_2}=2P-P_a.
Pela proporcionalidade Q\propto\Delta P/\eta,
\frac{Q_{H_2}}{Q_{He}}=\frac{\left(\dfrac{\Delta P_{H_2}}{\eta_{H_2}}\right)}{\left(\dfrac{\Delta P_{He}}{\eta_{He}}\right)} =\frac{\eta_{He}}{\eta_{H_2}}\cdot\frac{2P-P_a}{P-P_a}.
Pelo enunciado, \dfrac{Q_{H_2}}{Q_{He}}=10. Logo:
10=\frac{\eta_{He}}{\eta_{H_2}}\cdot\frac{2P-P_a}{P-P_a}.

Passo 4

Substituir a razão das viscosidades e resolver para P.
Defino
k=\frac{\eta_{He}}{\eta_{H_2}}=\frac{194}{87}\approx 2{,}229885.
Então da equação do passo anterior:
10 = k\cdot\frac{2P-P_a}{P-P_a}.
Isolando a fração:
\frac{2P-P_a}{P-P_a}=\frac{10}{k}.
Chamo c=\dfrac{10}{k}. Numericamente
c=\frac{10}{2{,}229885}\approx 4{,}4849.
Agora resolvo a equação linear em P:
2P-P_a=c(P-P_a).
Desenvolvendo:
2P-P_a = cP - cP_a.
Agrupando termos com P de um lado e com P_a do outro:
(2-c)P = (1-c)P_a.
Portanto
P=\frac{1-c}{2-c}\,P_a.
Substituindo c\approx 4{,}4849:
P=\frac{1-4{,}4849}{2-4{,}4849}\,P_a=\frac{-3{,}4849}{-2{,}4849}\,P_a\approx 1{,}402\,P_a.

Passo 5

Interpretação e conversão numérica:
A solução dá a pressão absoluta do reservatório (quando contém hélio) como aproximadamente 1{,}402 vezes a pressão ambiente. Tomando pressão atmosférica padrão P_a\approx 1{,}00\\ \text{atm} (ou 101{,}3\\ \mathrm{kPa}), obtemos:
P\approx 1{,}402\\ \text{atm}\approx 1{,}402\times 101{,}3\\ \mathrm{kPa}\approx 142{,}0\\ \mathrm{kPa}.
A pressão manométrica (acima da atmosfera) é
P-P_a\approx(1{,}402-1{,}000)\\ \text{atm}=0{,}402\\ \text{atm}\approx 40{,}7\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

P\approx 1{,}40\\ \text{atm}\approx 142{,}0\\ \mathrm{kPa}

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