Um corpo inicialmente a 100^{\circ} C é colocado em um ambiente mantido a 20^{\circ} C. Sabe-se que após 10 minutos a temperatura do corpo caiu para 50^{\circ} \mathrm{C}.
a) Modele o problema por uma equação diferencial.
b) Resolva a EDO e obtenha a expressão da temperatura T(t) em função do tempo.
c) Determine em quanto tempo a temperatura será de 30^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
Temperatura inicial do corpo: T(0)=100^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do ambiente (constante): T_{\text{amb}}=20^\circ\mathrm{C}.
Após 10 minutos, a temperatura é T(10)=50^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
(a) modelar por uma equação diferencial;
(b) resolver essa EDO e obter T(t);
(c) determinar o tempo t em que T(t)=30^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Modelagem (lei do resfriamento de Newton). A hipótese física é que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. Escrevemos isso assim:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T- T_{\text{amb}}\bigr),
onde:
\,T(t) é a temperatura do corpo em graus Celsius no instante t (minutos);
\,T_{\text{amb}}=20^\circ\mathrm{C} é a temperatura ambiente (constante);
\,k>0 é a constante de proporcionalidade (unidade: \text{min}^{-1}).
A presença do sinal negativo indica que, se T>T_{\text{amb}}, então dT/dt<0 (o corpo esfria).
Passo 3
Resolvendo a EDO (método separação de variáveis). Partimos de
com C_1=\pm e^{C}. Como estamos tratando de temperaturas e T-T_{\text{amb}} é positivo inicialmente, podemos usar C_1>0. Aplicando a condição inicial T(0)=100^\circ\mathrm{C}:
100-20 = C_1 e^{0}\quad\Rightarrow\quad C_1 = 80.
Portanto a solução geral com a constante ajustada é