Um corpo inicialmente a 100^{\circ} C é colocado em um ambiente mantido a 20^{\circ} C. Sabe-se que após 10 minutos a temperatura do corpo caiu para 50^{\circ} \mathrm{C}.
a) Modele o problema por uma equação diferencial.
b) Resolva a EDO e obtenha a expressão da temperatura T(t) em função do tempo.
c) Determine em quanto tempo a temperatura será de 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Temperatura inicial do corpo: T(0)=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente (constante): T_{\text{amb}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Após 10 minutos, a temperatura é T(10)=50^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
(a) modelar por uma equação diferencial;
(b) resolver essa EDO e obter T(t);
(c) determinar o tempo t em que T(t)=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelagem (lei do resfriamento de Newton). A hipótese física é que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. Escrevemos isso assim:
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T- T_{\text{amb}}\bigr),
onde:
  • \,T(t) é a temperatura do corpo em graus Celsius no instante t (minutos);
  • \,T_{\text{amb}}=20^\circ\mathrm{C} é a temperatura ambiente (constante);
  • \,k>0 é a constante de proporcionalidade (unidade: \text{min}^{-1}).
    A presença do sinal negativo indica que, se T>T_{\text{amb}}, então dT/dt<0 (o corpo esfria).

Passo 3

Resolvendo a EDO (método separação de variáveis). Partimos de
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T- T_{\text{amb}}\bigr).
Separando variáveis:
\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados (integral indefinida):
\int\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = \int -k\,dt
\Rightarrow \ln\bigl|T-T_{\text{amb}}\bigr| = -kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
T-T_{\text{amb}} = C_1 e^{-kt},
com C_1=\pm e^{C}. Como estamos tratando de temperaturas e T-T_{\text{amb}} é positivo inicialmente, podemos usar C_1>0. Aplicando a condição inicial T(0)=100^\circ\mathrm{C}:
100-20 = C_1 e^{0}\quad\Rightarrow\quad C_1 = 80.
Portanto a solução geral com a constante ajustada é
\boxed{T(t)=T_{\text{amb}} + 80\,e^{-kt} = 20 + 80\,e^{-kt}.}

Passo 4

Determinar k usando o dado T(10)=50^\circ\mathrm{C}. Substituindo t=10 na solução:
50 = 20 + 80\,e^{-10k}.
Isolando a exponencial:
80\,e^{-10k} = 30 \quad\Rightarrow\quad e^{-10k} = \frac{3}{8}.
Tomando logaritmo natural:
-10k = \ln\!\left(\frac{3}{8}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right).
Valor numérico (usar a vírgula como separador decimal):
k \approx 0,09808\\ \text{min}^{-1}.

Passo 5

Expressão final de T(t). Substituindo k na solução:
T(t)=20+80\,e^{-kt}=20+80\,\exp\!\Bigl(-t\cdot\frac{1}{10}\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)\Bigr).
Usando propriedades de potências da exponencial, uma forma equivalente e elegante é
\boxed{T(t)=20+80\left(\frac{3}{8}\right)^{\!t/10}.}
Essa forma é útil porque já incorpora o ajuste feito com t=10.

Passo 6

Determinar t tal que T(t)=30^\circ\mathrm{C}. Partimos de
30 = 20 + 80\,e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad 80\,e^{-kt}=10\quad\Rightarrow\quad e^{-kt}=\frac{1}{8}.
Tomando logaritmo natural:
-kt = \ln\!\left(\frac{1}{8}\right) = -\ln 8 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 8}{k}.
Substituindo k=\dfrac{1}{10}\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right):
t = 10\frac{\ln 8}{\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right)}.
Valor numérico:
t \approx 21,19\\ \text{minutos}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-20\bigr)
(b) \displaystyle T(t)=20+80\,e^{-kt}=\;20+80\left(\frac{3}{8}\right)^{\!t/10} (com k=\dfrac{1}{10}\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right)\approx0,09808\\ \text{min}^{-1})
(c) \displaystyle t=10\,\frac{\ln 8}{\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right)}\approx21,19\\ \text{min}

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