Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares homogêneas.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0.
Informações dadas:
  • A equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes.
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x), que normalmente envolve constantes arbitrárias devido à ordem 2 da equação.

Passo 2

Vamos escolher um método simples e padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procurar soluções da forma exponencial y=e^{rx}, onde r é um número (possivelmente complexo). Explico por quê: ao derivar e^{rx} obtém-se fatores r que transformam a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Isso reduz o problema de resolver uma ODE a resolver um polinômio (o chamado polinômio característico).

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação, calculamos as derivadas:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo em \;y''+4y'+4y=0\; e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos o polinômio característico:
r^2 + 4r + 4 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática para r. Calculamos o discriminante:
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{-4}{2} = -2,
com multiplicidade 2.

Passo 5

Quando o polinômio característico tem uma raiz real dupla r=-2, a teoria diz que uma solução é y_1(x)=e^{-2x}, mas precisamos de duas soluções linearmente independentes para formar a solução geral (pois a equação é de segunda ordem). Para obter a segunda solução usamos a técnica de buscar y(x)=u(x)e^{-2x}, com u a função a determinar.

Passo 6

Tomando y = u(x)e^{-2x}, calculamos as derivadas (aqui explico passo a passo):
y' = u' e^{-2x} - 2u e^{-2x},
y'' = u'' e^{-2x} - 4u' e^{-2x} + 4u e^{-2x}.
Substituindo y, y' e y'' na equação original:
\bigl(u'' e^{-2x} - 4u' e^{-2x} + 4u e^{-2x}\bigr) + 4\bigl(u' e^{-2x} - 2u e^{-2x}\bigr) + 4\bigl(u e^{-2x}\bigr) = 0.
Agora somamos termo a termo (fator comum e^{-2x} pode ser retirado):
e^{-2x}\bigl(u'' - 4u' + 4u + 4u' - 8u + 4u\bigr) = 0.
Os termos em u e em u' cancelam:
e^{-2x}\bigl(u''\bigr) = 0 \quad\Rightarrow\quad u''=0.

Passo 7

Integrando u''=0 duas vezes obtemos
u'(x) = C_2,\qquad u(x) = C_1 + C_2 x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Portanto a solução geral é
y(x) = u(x)e^{-2x} = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-2x}.

Passo 8

Para confirmar que as duas funções y_1(x)=e^{-2x} e y_2(x)=x e^{-2x} são linearmente independentes, podemos verificar o wronskiano:
W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} e^{-2x} & x e^{-2x} \\[4pt] -2e^{-2x} & (1-2x)e^{-2x} \end{vmatrix} = e^{-4x}(1-2x) - x e^{-4x}(-2) = e^{-4x}\neq 0.
Como o wronskiano é diferente de zero para todo x, as soluções são independentes e a forma encontrada é realmente a solução geral.]

Passo 9

Interpretação final: a solução geral contém duas constantes arbitrárias C_1 e C_2, como esperado para uma ODE de segunda ordem. Em problemas com condições iniciais, basta substituir essas condições para determinar C_1 e C_2.

Resposta

y(x)=\bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-2x}

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