Suponha que a população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual. Em 2000, a população da cidade era de 100.000 habitantes. Em 2020, a população estimada era de 110.000 habitantes.
a) Escreva uma equação diferencial que modele o crescimento populacional da cidade.
b) Resolva a equação diferencial para encontrar a expressão da população
em função do tempo
, onde
é o número de anos desde o ano 2000.
c) Determine a constante de proporcionalidade
.
a) Escreva uma equação diferencial que modele o crescimento populacional da cidade.
b) Resolva a equação diferencial para encontrar a expressão da população
c) Determine a constante de proporcionalidade
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
-
Informações dadas:
- Em 2000, a população da cidade era de
habitantes. - Em 2020, a população estimada era de
habitantes. - A taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho atual da população.
- Em 2000, a população da cidade era de
-
O que o enunciado pede:
- (a) Escrever uma equação diferencial que modele o crescimento populacional.
- (b) Resolver essa equação diferencial para obter a expressão
, onde é o número de anos desde 2000 (ou seja, corresponde a 2000). - (c) Determinar a constante de proporcionalidade
.
Passo 2
Entender e traduzir a hipótese “taxa proporcional ao tamanho” para uma equação.
-
Definições das variáveis (muito importante):
-
= população no tempo (habitantes). -
= tempo em anos desde o ano 2000 (logo é o ano 2000). -
= constante de proporcionalidade (tem unidade de “por ano”, isto é, ). Ela mede a fração da população que cresce por ano.
-
-
A frase “a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho atual” significa que a derivada da população em relação ao tempo é igual a
vezes a população naquele tempo. Isso dá a equação diferencial:
Passo 3
Resolver a equação diferencial
por separação de variáveis (método bem usado em provas).
- Ideia do método: colocar todos os termos com
num lado e os termos com no outro, depois integrar.
Partimos de
Como
depende de
, podemos rearranjar:
Agora integramos ambos os lados (integração indefinida):
-
Explicação da integral do lado esquerdo:
. Aqui usamos a função logaritmo natural porque a derivada de é . Como representa população (positiva), podemos escrever sem o valor absoluto se quisermos. -
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Agora “deslogaritmamos” para obter
explicitamente. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
(constante positiva igual à população inicial), obtemos a forma geral:
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar
.
- Sabemos que em 2000 (isto é,
) a população era . Logo .
Substituindo em
:
Portanto a solução particular é
Passo 5
Usar a informação de 2020 para encontrar
.
- Em 2020 corresponde a
anos após 2000, e foi dado . - Substituindo na solução:
- Isolando
:
- Aplicando logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Calcular o valor numérico de
e interpretar.
- Avaliando numericamente
(aqui é a série de logaritmo ou calculadora; em prova é aceitável deixar a forma exata, mas podemos dar aproximação). - Dividindo por
:
Arredondando razoavelmente (por exemplo três ou quatro casas decimais significativas):
- Interpretação rápida:
significa crescimento de cerca de ao ano (porque ) — crescimento lento, o que faz sentido pois a população subiu de para em 20 anos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)