Suponha que a população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual. Em 2000, a população da cidade era de 100.000 habitantes. Em 2020, a população estimada era de 110.000 habitantes.
a) Escreva uma equação diferencial que modele o crescimento populacional da cidade.
b) Resolva a equação diferencial para encontrar a expressão da população P(t) em função do tempo t, onde t é o número de anos desde o ano 2000.
c) Determine a constante de proporcionalidade k.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informações dadas:
    • Em 2000, a população da cidade era de 100\,000 habitantes.
    • Em 2020, a população estimada era de 110\,000 habitantes.
    • A taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho atual da população.
  • O que o enunciado pede:
    1. (a) Escrever uma equação diferencial que modele o crescimento populacional.
    2. (b) Resolver essa equação diferencial para obter a expressão P(t), onde t é o número de anos desde 2000 (ou seja, t=0 corresponde a 2000).
    3. (c) Determinar a constante de proporcionalidade k.

Passo 2

Entender e traduzir a hipótese “taxa proporcional ao tamanho” para uma equação.
  • Definições das variáveis (muito importante):
    • P(t) = população no tempo t (habitantes).
    • t = tempo em anos desde o ano 2000 (logo t=0 é o ano 2000).
    • k = constante de proporcionalidade (tem unidade de “por ano”, isto é, \text{ano}^{-1}). Ela mede a fração da população que cresce por ano.
  • A frase “a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho atual” significa que a derivada da população em relação ao tempo é igual a k vezes a população naquele tempo. Isso dá a equação diferencial:
\frac{dP}{dt} = k\,P.

Passo 3

Resolver a equação diferencial \dfrac{dP}{dt}=kP por separação de variáveis (método bem usado em provas).
  • Ideia do método: colocar todos os termos com P num lado e os termos com t no outro, depois integrar.
Partimos de
\frac{dP}{dt} = kP.
Como P depende de t, podemos rearranjar:
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
Agora integramos ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt.
  • Explicação da integral do lado esquerdo: \int \dfrac{1}{P}\,dP = \ln|P| + C. Aqui usamos a função logaritmo natural porque a derivada de \ln|P| é 1/P. Como P(t) representa população (positiva), podemos escrever \ln P sem o valor absoluto se quisermos.
  • Integrando:
\ln P = kt + C,
onde C é a constante de integração.
Agora “deslogaritmamos” para obter P explicitamente. Exponenciando ambos os lados:
P(t) = e^{kt + C} = e^{C} e^{kt}.
Definindo P_0 := e^{C} (constante positiva igual à população inicial), obtemos a forma geral:
P(t) = P_0 e^{kt}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar P_0.
  • Sabemos que em 2000 (isto é, t=0) a população era 100\,000. Logo P(0)=100\,000.
Substituindo em P(t)=P_0 e^{kt}:
P(0)=P_0 e^{k\cdot 0}=P_0 = 100\,000.
Portanto a solução particular é
P(t) = 100\,000\,e^{kt}.

Passo 5

Usar a informação de 2020 para encontrar k.
  • Em 2020 corresponde a t=20 anos após 2000, e foi dado P(20)=110\,000.
  • Substituindo na solução:
110\,000 = 100\,000\,e^{k\cdot 20}.
  • Isolando e^{20k}:
\frac{110\,000}{100\,000} = e^{20k} \quad\Rightarrow\quad \frac{11}{10} = e^{20k}.
  • Aplicando logaritmo natural em ambos os lados para resolver para k:
\ln\!\left(\frac{11}{10}\right) = 20k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{20}\ln\!\left(\frac{11}{10}\right).

Passo 6

Calcular o valor numérico de k e interpretar.
  • Avaliando numericamente \ln\!\left(\dfrac{11}{10}\right)=\ln(1,1)\approx 0,0953101798 (aqui é a série de logaritmo ou calculadora; em prova é aceitável deixar a forma exata, mas podemos dar aproximação).
  • Dividindo por 20:
k \approx \frac{0,0953101798}{20} \approx 0,004765509.
Arredondando razoavelmente (por exemplo três ou quatro casas decimais significativas):
k \approx 0,00477\\ \text{(ano}^{-1}\text{)}.
  • Interpretação rápida: k\approx 0,00477 significa crescimento de cerca de 0,477\% ao ano (porque 0,00477\times 100\% \approx 0,477\%) — crescimento lento, o que faz sentido pois a população subiu de 100\,000 para 110\,000 em 20 anos.

Resposta

(a) \dfrac{dP}{dt}=kP
(b) P(t)=100\,000\,e^{kt}
(c) k=\dfrac{1}{20}\ln\!\left(\dfrac{11}{10}\right)\approx 0,00477\\ \text{ano}^{-1}

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