Um corpo de 2 kg oscila preso a uma mola com uma amplitude inicial de 3 cm . A constante de força da mola é 400 N / m.
Mostre que a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um corpo de massa está preso a uma mola de constante e sofre amortecimento proporcional à velocidade (tipo “viscoso”). A amplitude inicial é de .
Conteúdo: Oscilador harmônico linearmente amortecido.
O que vamos precisar:
  1. A equação do movimento amortecido
  2. A forma da solução (amplitude decai exponencialmente)
  3. A definição de período da oscilação amortecida
  4. Mostrar que a razão é sempre a mesma

Passo 2

A equação diferencial de um oscilador linearmente amortecido é
m,ddot x + c,dot x + k,x = 0,
onde gamma = c2m e omega0 = raizkm é o coeficiente de amortecimento. Para facilitar, define-se
x(t) = A0,e^-gamma t,cosl(omega',t + varphir),
No caso subamortecido ( omega' = raizomega0^2 - gamma^2 ), a solução geral fica
com
Repare que o termo faz a amplitude “escorregar” ao longo do tempo.

Passo 3

O valor máximo de T = 2piomega' (ou seja, cada pico de amplitude) acontece sempre quando o cosseno vale An = A0,e^-gamma,tn = A0,e^-gamma,nT . Esses picos estão espaçados de um período
No instante do n-ésimo pico, , a amplitude é

Passo 4

Agora olha só a razão entre amplitudes de picos consecutivos:
An+1An = A0,e^-gamma,(n+1)TA0,e^-gamma,nT = e^-gamma T
Essa expressão não depende de : é um número fixo determinado só pelo amortecimento e pelo período .

Resposta

A razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é
boxedAn+1An = e^-gamma,T,
que é sempre a mesma para um oscilador linearmente amortecido.

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