Um corpo de 2 kg oscila preso a uma mola com uma amplitude inicial de 3 cm . A constante de força da mola é
.
Mostre que a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.
Mostre que a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um corpo de massa
está preso a uma mola de constante
e sofre amortecimento proporcional à velocidade (tipo “viscoso”). A amplitude inicial é de
.
Conteúdo: Oscilador harmônico linearmente amortecido.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Oscilador harmônico linearmente amortecido.
O que vamos precisar:
- A equação do movimento amortecido
- A forma da solução (amplitude decai exponencialmente)
- A definição de período da oscilação amortecida
- Mostrar que a razão
é sempre a mesma
Passo 2
A equação diferencial de um oscilador linearmente amortecido é
onde
é o coeficiente de amortecimento. Para facilitar, define-se
No caso subamortecido (
), a solução geral fica
com
Repare que o termo
faz a amplitude “escorregar” ao longo do tempo.
Passo 3
O valor máximo de
(ou seja, cada pico de amplitude) acontece sempre quando o cosseno vale
. Esses picos estão espaçados de um período
No instante do n-ésimo pico,
, a amplitude é
Passo 4
Agora olha só a razão entre amplitudes de picos consecutivos:
Essa expressão não depende de
: é um número fixo determinado só pelo amortecimento
e pelo período
.
Resposta
A razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é
que é sempre a mesma para um oscilador linearmente amortecido.