Mostre que a inércia rotacional de uma barra uniforme de comprimento l em relação a um eixo de rotação situado no meio da barra é I=112 M L^2. (Dica: I=integral r^2 d m, d m=lambda d x e r^2=x^2.)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que a inércia rotacional (momento de inércia) de uma barra uniforme de comprimento I = 112,M,L^2 , girando em torno de um eixo perpendicular ao seu comprimento e passando pelo meio dela, é
Conteúdo: momento de inércia de distribuições contínuas.
O que vamos usar:
  1. A definição .
  2. Que a barra é uniforme, então a densidade linear é .
  3. Dividir a barra em “pedaços” e integrar .

Passo 2

Vamos colocar o eixo de rotação no ponto dm = lambda,dx e lambda = ML , que é o meio da barra, e o eixo aponta para fora do plano. Cada pedacinho de massa fica a uma distância do centro. Como a barra vai de até , teremos:

Passo 3

Substituímos na fórmula do momento de inércia:
I = integral r^2,dm = integral-L/2^+L/2 x^2 ,(lambda,dx) = lambda integral-L/2^+L/2 x^2,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral integral x^2,dx = x^33 Longrightarrow integral-L/2^+L/2 x^2,dx = [x^33]-L/2^+L/2 = (L/2)^3 - (-L/2)^33 = L^3/8 - (-L^3/8)3 = 2,L^3/83 = L^312 :
I = lambda ,L^312 = ML,L^312 = M,L^212
Então

Resposta

boxedI = 112,M,L^2

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