Mostre que a inércia rotacional de uma barra uniforme de comprimento
em relação a um eixo de rotação situado no meio da barra é
. (Dica:
e
.)
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar que a inércia rotacional (momento de inércia) de uma barra uniforme de comprimento
, girando em torno de um eixo perpendicular ao seu comprimento e passando pelo meio dela, é
Conteúdo: momento de inércia de distribuições contínuas.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A definição
. - Que a barra é uniforme, então a densidade linear é
. - Dividir a barra em “pedaços”
e integrar .
Passo 2
Vamos colocar o eixo de rotação no ponto
, que é o meio da barra, e o eixo aponta para fora do plano. Cada pedacinho de massa
fica a uma distância
do centro. Como a barra vai de
até
, teremos:
Passo 3
Substituímos na fórmula do momento de inércia:
Passo 4
Agora calculamos a integral
:
Então