Um corpo de 3 Kg está preso numa mola que oscila horizontalmente, com a amplitude 4 cm e o período de 2 s . (a) Qual a energia total? (b) Qual a velocidade escalar máxima do corpo?
(a) 2,4 \times 10^{-2} \mathrm{~J}, (b) 0,126 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
m=3 \mathrm{~kg} ; A=4 \mathrm{~cm} ; T=2 \mathrm{~s}
a)
\begin{gathered} E_{t}=\frac{1}{2} k A^{2}=\frac{1}{2} \cdot 29,6 \cdot\left(4 \cdot 10^{-2}\right)^{2} \\\ =2,4 \cdot 10^{-2} J \\\ w=\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2 \pi}{T} \\\ k=\frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} m=\frac{4 \pi^{2} \cdot 3}{2^{2}}=29,6 \frac{N}{m} \end{gathered}
b)
\begin{gathered} v_{\max }=w A=3,14 \cdot 4 \cdot 10^{-2}=0,126 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \\\ w=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{2}=3,14 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}} \\\ K_{\max }=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}=\frac{1}{2} k A^{2} ; v_{\max }^{2} \\\ =\frac{k}{m} A^{2} \\\ \Leftrightarrow v_{\max }=\sqrt{\frac{k}{m}} A=w A \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m=3\\ \mathrm{kg} preso a uma mola que oscila horizontalmente com amplitude A=4\\ \mathrm{cm} e período T=2\\ \mathrm{s}. Queremos:
  1. A energia mecânica total E_t do sistema no movimento harmônico simples.
  2. A velocidade escalar máxima v_{\max}.
    Para isso precisamos da constante elástica k, que vem de \omega=\sqrt{k/m} com \omega=2\pi/T, e depois usamos
E_{t}=\tfrac12 kA^2
e
v_{\max}=A\,\omega.

Passo 2

Calculamos a frequência angular \omega a partir do período:
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\\ \mathrm{s}} = \pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 3{,}14\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinamos a constante da mola k usando \omega^2=k/m:
k = m\,\omega^2 = 3\\ \mathrm{kg}\times (\pi\\ \mathrm{rad/s})^2 = 3\pi^2\\ \mathrm{N/m}\approx 29{,}6\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Convertendo amplitude para metros, A=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}, e calculando a energia total:
E_{t} = \tfrac12\,k\,A^2 = \tfrac12 \times 29{,}6\\ \mathrm{N/m}\times (0{,}04\\ \mathrm{m})^2 = 2{,}37\times10^{-2}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Com a mesma \omega e A, a velocidade máxima é
v_{\max}=A\,\omega = 0{,}04\\ \mathrm{m}\times 3{,}14\\ \mathrm{rad/s} = 0{,}126\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) E_{t}=2{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.
(b) v_{\max}=0{,}126\\ \mathrm{m/s}.

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