Uma segunda mola, idêntica à do exercício anterior, é ligada a um segundo corpo que também tem a massa 2 Kg . A mola é esticada 10 cm em relação à posição de equilíbrio e solta no mesmo instante que a primeira, que foi esticada 5 cm . Qual dos dois corpos atinge em primeiro lugar a posição de equilíbrio? Justificar.
Os dois corpos atingem a posição de equilíbrio no mesmo instante. No MHS, a frequência ou período não depenem da amplitude.
w=\sqrt{\frac{k}{m}}=2 \pi f=\frac{2 \pi}{T}
f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} ; T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Passo 1

O enunciado descreve dois sistemas massa–mola idênticos, cada um com massa m=2\;\text{kg} e constante elástica k. Num, a mola é esticada de A_1=5,cm; no outro, de A_2=10,cm. Ambos são soltos do repouso ao mesmo instante, e a pergunta é: qual chega primeiro à posição de equilíbrio? Para resolver, vamos usar o modelo de movimento harmônico simples (MHS) de massa–mola, em que o período T não depende da amplitude.

Passo 2

No MHS sem amortecimento para mola ideal, a abscissa da massa satisfaz
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
em que \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. Como soltamos a massa da posição de alongamento máximo e sem velocidade inicial, temos \varphi=0 e
x(t)=A\cos(\omega t).

Passo 3

A posição de equilíbrio corresponde a x=0. Logo, queremos o menor t>0 tal que
x(t)=0\quad\Longrightarrow\quad\cos(\omega t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega t=\frac{\pi}{2}+n\pi.
O primeiro instante é
t_{\rm eq}=\frac{\pi}{2\,\omega}.

Passo 4

Como \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, podemos escrever
t_{\rm eq} =\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sqrt{k/m}} =\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}} =\frac{T}{4},
onde
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
é o período completo. Note que t_{\rm eq}=T/4 independe da amplitude A.

Resposta

Os dois corpos atingem a posição de equilíbrio no mesmo instante, pois em MHS o tempo até o equilíbrio vale T/4 e não depende da amplitude.

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