Um corpo de 4 kg está sujeito a ação de três forças:
\overrightarrow{F_{1}}=(2 N) \hat{\imath}+(-3 \mathrm{~N}) \hat{\jmath}
\overrightarrow{F_{2}}=(4 N) \hat{\imath}+(-11 \mathrm{~N}) \hat{\jmath}
\overrightarrow{F_{3}}=(-2 N) \hat{\imath}+(6 \mathrm{~N}) \hat{\jmath}
Sabendo que o corpo está em repouso e na origem no tempo \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}.
a) Qual é o vetor aceleração \vec{a} do corpo?
b) Qual o módulo do vetor velocidade \vec{v} no instante \mathrm{t}=3 \mathrm{~s} ?
c) Qual o módulo do vetor posição \vec{r} no instante \mathrm{t}=3 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá as três forças que atuam no corpo, a massa, a posição e o estado inicial, e pede três coisas. Vou listar tudo de forma clara:
Dado:
\vec{F}_1=(2\\ \text{N})\hat{\imath}+(-3\\ \text{N})\hat{\jmath}
\vec{F}_2=(4\\ \text{N})\hat{\imath}+(-11\\ \text{N})\hat{\jmath}
\vec{F}_3=(-2\\ \text{N})\hat{\imath}+(6\\ \text{N})\hat{\jmath}
m=4\\ \text{kg}
O corpo está em repouso em t=0 e localizado na origem, isto é,
\vec{v}(0)=\vec{0},\quad \vec{r}(0)=\vec{0}.
Perguntas:
a) Qual é o vetor aceleração \vec{a} do corpo?
b) Qual o módulo do vetor velocidade \vec{v} no instante t=3\\ \text{s}?
c) Qual o módulo do vetor posição \vec{r} no instante t=3\\ \text{s}?

Passo 2

Somar as forças para obter a força resultante. Explicação: vetores se somam componente a componente (x com x, y com y). Isso porque cada componente age independentemente nas direções ortogonais.
Calculemos as componentes:
componente x:
F_{x}=2+4+(-2)=4\\ \text{N}.
componente y:
F_{y}=-3+(-11)+6=-8\\ \text{N}.
Logo a força resultante é
\vec{F}_{\text{res}}=(4\\ \text{N})\hat{\imath}+(-8\\ \text{N})\hat{\jmath}.

Passo 3

Usar a segunda lei de Newton para achar a aceleração. A lei diz que a força resultante é a massa vezes a aceleração:
\vec{F}_{\text{res}}=m\vec{a}.
Aqui \vec{F}_{\text{res}} é a força resultante (em newtons), m é a massa (em quilogramas) e \vec{a} é a aceleração (em \text{m}\,\text{s}^{-2}). Isolando \vec{a}:
\vec{a}=\frac{\vec{F}_{\text{res}}}{m}.
Substituindo as componentes:
a_x=\frac{4\\ \text{N}}{4\\ \text{kg}}=1\\ \text{m}\,\text{s}^{-2},
a_y=\frac{-8\\ \text{N}}{4\\ \text{kg}}=-2\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
Portanto
\vec{a}=(1\\ \text{m}\,\text{s}^{-2})\hat{\imath}+(-2\\ \text{m}\,\text{s}^{-2})\hat{\jmath}.

Passo 4

Achar a velocidade em t=3\\ \text{s}. Para movimento com aceleração constante, a velocidade é dada por
\vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t,
onde \vec{v}(0) é a velocidade inicial e \vec{a} é a aceleração constante. Aqui \vec{v}(0)=\vec{0}, então
\vec{v}(3)=\vec{a}\cdot 3.
Componentes:
v_x(3)=1\cdot 3=3\\ \text{m}\,\text{s}^{-1},
v_y(3)=-2\cdot 3=-6\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Logo \vec{v}(3)=(3\\ \text{m}\,\text{s}^{-1})\hat{\imath}+(-6\\ \text{m}\,\text{s}^{-1})\hat{\jmath}.
Agora o módulo da velocidade usa a fórmula do comprimento de um vetor em 2D:
\lVert \vec{v} \rVert=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Aplicando:
\lVert \vec{v}(3)\rVert=\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Passo 5

Achar a posição em t=3\\ \text{s}. Para aceleração constante, a posição é
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}(0)\,t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}.
Com \vec{r}(0)=\vec{0} e \vec{v}(0)=\vec{0}, fica
\vec{r}(t)=\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}.
Para t=3\\ \text{s} e \vec{a}=(1,-2)\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}:
r_x(3)=\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 3^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 9=4{,}5\\ \text{m},
r_y(3)=\tfrac{1}{2}\cdot (-2)\cdot 3^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot (-2)\cdot 9=-9\\ \text{m}.
Portanto
\vec{r}(3)=(4{,}5\\ \text{m})\hat{\imath}+(-9\\ \text{m})\hat{\jmath}.
O módulo da posição é novamente a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\lVert \vec{r}(3)\rVert=\sqrt{4{,}5^{2}+(-9)^{2}}=\sqrt{20{,}25+81}=\sqrt{101{,}25}.
Simplificando \sqrt{101{,}25}=\sqrt{\tfrac{405}{4}}=\tfrac{\sqrt{405}}{2}. Como 405=81\cdot 5 e \sqrt{81}=9, obtemos
\lVert \vec{r}(3)\rVert=\frac{9\sqrt{5}}{2}\\ \text{m}\approx 10{,}062\\ \text{m}.

Resposta

a) \vec{a}=(1\\ \text{m}\,\text{s}^{-2})\hat{\imath}+(-2\\ \text{m}\,\text{s}^{-2})\hat{\jmath}
b) \lVert \vec{v}(3)\rVert=3\sqrt{5}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
c) \lVert \vec{r}(3)\rVert=\dfrac{9\sqrt{5}}{2}\\ \text{m}

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