Problema 8.4 O vetor de área de um loop retangular que tem inicialmente \ell_{i}=300 mm de comprimento w_{i}=200 \mathrm{~mm} de largura está alinhado com a direção de um campo magnético uniforme que tem magnitude inicial B_{i}=500 \mathrm{mT}. Você deseja aumentar a magnitude do campo suavemente para B_{f}=700 \mathrm{mT} em 10 s , mas deseja ter corrente induzida zero na espira. Você planeja fazer isso alterando o comprimento da espira \ell conforme você aumenta o campo magnético. Para ter I_{\text {ind }}=0, qual deve ser o comprimento do loop após 3,00 \mathrm{~s}, e após 10,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar o comprimento da espira \ell após 3{,}00\\ \mathrm{s} e após 10{,}0\\ \mathrm{s} de um processo no qual o campo magnético é aumentado suavemente de B_i para B_f em 10\\ \mathrm{s}, mantendo a corrente induzida na espira igual a zero.
Informações fornecidas (vou listar todas as grandezas dadas):
\begin{aligned} \ell_i &= 300\\ \mathrm{mm} = 0{,}300\\ \mathrm{m},\\\ w_i &= 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}200\\ \mathrm{m},\\\ B_i &= 500\\ \mathrm{mT} = 0{,}500\\ \mathrm{T},\\\ B_f &= 700\\ \mathrm{mT} = 0{,}700\\ \mathrm{T},\\\ T &= 10{,}0\\ \mathrm{s}\\ \text{(duração do processo).} \end{aligned}çã
Perguntas específicas:
  • Qual deve ser \ell em t=3{,}00\\ \mathrm{s}?
  • Qual deve ser \ell em t=10{,}0\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Conceito físico e condição para corrente induzida zero.
Explicando didaticamente: a força eletromotriz induzida numa espira é dada pela Lei de Faraday: a fem é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético \Phi através da espira. Em forma simples:
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético. Para não haver corrente induzida, precisamos que a fem seja zero, isto é:
\mathcal{E}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\Phi}{dt}=0.
Isso significa que o fluxo magnético \Phi deve permanecer constante no tempo durante o processo. Vou explicar o que é fluxo a seguir.

Passo 3

Definição do fluxo magnético para a espira retangular e consequência prática.
Para uma espira retangular cuja normal está alinhada com o campo magnético uniforme, o fluxo magnético é
\Phi = B \, A,
onde A é a área da espira. Para um retângulo de lados \ell e w,
A = \ell\, w,
logo
\Phi = B\,\ell\,w.
Como queremos \Phi constante, devemos ter
B(t)\,\ell(t)\,w = \text{const} = B_i\,\ell_i\,w_i.
Aqui w é a largura da espira; o enunciado não indica que w muda, então assumimos w=w_i fixa. Assim a largura cancela e obtemos a fórmula prática:
\ell(t)=\frac{B_i\,\ell_i}{B(t)}.
Isto é intuitivo: à medida que B aumenta, \ell deve diminuir de modo que o produto B\ell permaneça igual ao valor inicial B_i\ell_i.

Passo 4

Modelo temporal do campo magnético B(t).
O enunciado diz que o campo é aumentado suavemente (assumimos variação linear, que é a interpretação natural para “aumentar suavemente em 10 s” quando não há outra indicação). Portanto:
B(t)=B_i + \frac{B_f-B_i}{T}\,t,
com T=10{,}0\\ \mathrm{s}. Substituindo os valores:
B(t)=0{,}500 + \frac{0{,}700-0{,}500}{10{,}0}\,t =0{,}500 + 0{,}020\,t\quad(\mathrm{T}).
Agora podemos calcular B nos tempos pedidos.

Passo 5

Calcular B em t=3{,}00\\ \mathrm{s} e em t=10{,}0\\ \mathrm{s}.
Para t=3{,}00\\ \mathrm{s}:
B(3{,}00)=0{,}500 + 0{,}020\times 3{,}00 = 0{,}500 + 0{,}060 = 0{,}560\\ \mathrm{T}.
Para t=10{,}0\\ \mathrm{s}:
B(10{,}0)=0{,}500 + 0{,}020\times 10{,}0 = 0{,}500 + 0{,}200 = 0{,}700\\ \mathrm{T},
o que confirma o valor final dado.

Passo 6

Usar a fórmula \ell(t)=\dfrac{B_i\,\ell_i}{B(t)} para calcular \ell(3{,}00).
Substituindo:
\ell(3{,}00)=\frac{0{,}500\times 0{,}300}{0{,}560}\\ \mathrm{m}.
Calcule passo a passo:
0{,}500\times 0{,}300 = 0{,}150,
\ell(3{,}00)=\frac{0{,}150}{0{,}560}=0{,}267857\ldots\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros (multiplicando por 1000):
\ell(3{,}00)=267{,}857\ldots\\ \mathrm{mm}\approx 268\\ \mathrm{mm}
(aproximado com três algarismos significativos, coerente com os dados fornecidos).

Passo 7

Calcular \ell(10{,}0) com a mesma fórmula.
\ell(10{,}0)=\frac{0{,}500\times 0{,}300}{0{,}700}\\ \mathrm{m}.
Passo a passo:
0{,}500\times 0{,}300 = 0{,}150,
\ell(10{,}0)=\frac{0{,}150}{0{,}700}=0{,}2142857\ldots\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
\ell(10{,}0)=214{,}2857\ldots\\ \mathrm{mm}\approx 214\\ \mathrm{mm}
(arredondado para três algarismos significativos).

Resposta

\ell(3{,}00\\ \mathrm{s})=268\\ \mathrm{mm}
\ell(10{,}0\\ \mathrm{s})=214\\ \mathrm{mm}

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