Problema 8.4 O vetor de área de um loop retangular que tem inicialmente
mm de comprimento
de largura está alinhado com a direção de um campo magnético uniforme que tem magnitude inicial
. Você deseja aumentar a magnitude do campo suavemente para
em 10 s , mas deseja ter corrente induzida zero na espira. Você planeja fazer isso alterando o comprimento da espira
conforme você aumenta o campo magnético. Para ter
, qual deve ser o comprimento do loop após
, e após
?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar o comprimento da espira
após e após de um processo no qual o campo magnético é aumentado suavemente de para em , mantendo a corrente induzida na espira igual a zero.
Informações fornecidas (vou listar todas as grandezas dadas):
Perguntas específicas:
- Qual deve ser
em ? - Qual deve ser
em ?
Passo 2
Conceito físico e condição para corrente induzida zero.
Explicando didaticamente: a força eletromotriz induzida numa espira é dada pela Lei de Faraday: a fem é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético
através da espira. Em forma simples:
onde
é o fluxo magnético. Para não haver corrente induzida, precisamos que a fem seja zero, isto é:
Isso significa que o fluxo magnético
deve permanecer constante no tempo durante o processo. Vou explicar o que é fluxo a seguir.
Passo 3
Definição do fluxo magnético para a espira retangular e consequência prática.
Para uma espira retangular cuja normal está alinhada com o campo magnético uniforme, o fluxo magnético é
onde
é a área da espira. Para um retângulo de lados
e
,
logo
Como queremos
constante, devemos ter
Aqui
é a largura da espira; o enunciado não indica que
muda, então assumimos
fixa. Assim a largura cancela e obtemos a fórmula prática:
Isto é intuitivo: à medida que
aumenta,
deve diminuir de modo que o produto
permaneça igual ao valor inicial
.
Passo 4
Modelo temporal do campo magnético
.
O enunciado diz que o campo é aumentado suavemente (assumimos variação linear, que é a interpretação natural para “aumentar suavemente em 10 s” quando não há outra indicação). Portanto:
com
. Substituindo os valores:
Agora podemos calcular
nos tempos pedidos.
Passo 5
Calcular
em
e em
.
Para
:
Para
:
o que confirma o valor final dado.
Passo 6
Usar a fórmula
para calcular
.
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Convertendo para milímetros (multiplicando por
):
(aproximado com três algarismos significativos, coerente com os dados fornecidos).
Passo 7
Calcular
com a mesma fórmula.
Passo a passo:
Em milímetros:
(arredondado para três algarismos significativos).