Dadas as componentes de deslocamentos u_{1}=0, u_{2}=C_{1} x_{1} e u_{3}=C_{2} x_{2}, onde C_{1} e C_{2} são constantes, verifique quais restrições devem ser tomadas para que as componentes de deslocamentos represente um campo de deslocamento possível e compatível em um corpo linearmente elástico e isotrópico.
Passo 1
O que o enunciado dá: \,u_{1}=0,\;u_{2}=C_{1}x_{1},\;u_{3}=C_{2}x_{2}\,, com \,C_{1} e \,C_{2} constantes.
O que ele pede:
verificar quais restrições (se houver) sobre \,C_{1} e \,C_{2} para que esse campo de deslocamentos seja um campo possível e compatível num corpo linearmente elástico e isotrópico.
Informações relevantes que já tenho do enunciado: \,u_{i}=u_{i}(x_{1},x_{2},x_{3}) estão dadas explicitamente; os coeficientes \,C_{1} e \,C_{2} são constantes (não dependem das coordenadas).
Passo 2
Primeiro: vou calcular o gradiente do deslocamento, isto é as derivadas parciais \partial u_{i}/\partial x_{j}. Definição e interpretação rápida: \;u_{i,j}=\dfrac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\; representa a taxa de variação da componente u_{i} na direção x_{j}.
Calculemos cada derivada (vou escrever todas em TeX):
Agora: calcular a tensor de deformação pequena (strain) \epsilon_{ij}. Fórmula fundamental (explicando): em elasticidade linear de pequenas deformações,
onde \epsilon_{ij} é a componente simétrica que mede estiramento e cisalhamento infinitesimal; u_{i,j} são os elementos do gradiente calculados no passo anterior.
Calculemos componente a componente (mostro os detalhes):
Comentário didático: é muito conveniente que as componentes do tensor de deformação sejam constantes — facilita muito a verificação da compatibilidade.]
Passo 4
Verificação de compatibilidade de campo de deslocamentos.
Existem duas formas equivalentes e clássicas de verificar compatibilidade:
Verificar que as derivadas de segunda ordem do deslocamento são iguais quando trocamos a ordem: u_{i,jk}=u_{i,kj}. Isso garante que existe um campo de deslocamentos único (sem multivaloração) que produz esse gradiente.
Verificar as equações de compatibilidade de Saint‑Venant para \epsilon_{ij}, que em forma compacta dizem que \operatorname{curl}(\operatorname{curl}\,\epsilon)=0. Uma consequência prática: se \epsilon_{ij} é contínuo e tem componentes constantes, essas equações são satisfeitas automaticamente.
Vou usar a (1) porque é direta aqui. Como as entradas de \big[u_{i,j}\big] são constantes, todas as segundas derivadas u_{i,jk} são nulas:
u_{i,jk}=0\quad\text{para todos }i,j,k.
Logo u_{i,jk}=u_{i,kj} vale trivially. Portanto o campo de deslocamento dado é estritamente compatível (não há incompatibilidades geométricas).
Passo 5
Consistência com corpo linearmente elástico e isotrópico (comentário físico e restrições):
Na linearidade e isotropia, a relação tensão‑deformação é dada pela lei de Hooke clássica:
onde \lambda e \mu são constantes de Lame, \delta_{ij} é o delta de Kronecker e \epsilon_{kk}=\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33} é o traço do tensor de deformação.
Ou seja, o campo de deslocamento gera um campo de tensões uniformes proporcional a [\epsilon_{ij}]. Não aparece nenhuma inconsistência: qualquer \,C_{1} e \,C_{2} constantes dão tensões constantes compatíveis com a elasticidade linear.
Um comentário importante (físico e prático): a teoria de pequenas deformações assume que as componentes do gradiente de deslocamento são pequenas. Aqui os gradientes não dependem da posição e valem \,C_{1} e \,C_{2} (aparecem nas componentes do gradiente). Para que a hipótese de linearização seja válida na prática, normalmente exigimos que
|C_{1}|\ll 1\quad\text{e}\quad |C_{2}|\ll 1,
ou seja, deformações e rotações infinitesimais. Se \,C_{1} ou \,C_{2} forem grandes, então o modelo linear pode deixar de ser válido e seria preciso usar teoria finita de deformações. Mas isso é uma restrição de modelo, não uma incompatibilidade geométrica.
Passo 6
Resumo da conclusão (explicando em linguagem direta):
Geometricamente e matematicamente: o campo é compatível porque as derivadas segundas são zero (campo afim com gradiente constante). Não há nenhuma ligação obrigatória entre \,C_{1} e \,C_{2}.
Elasticamente (isotrópico, linear): gera tensões constantes e admissíveis pela lei de Hooke; novamente não impõe restrições entre \,C_{1} e \,C_{2}.
Restrição prática: para permanecer no regime da elasticidade linear de pequenas deformações, pedir que |C_{1}| e |C_{2}| sejam suficientemente pequenos.
Resposta
Qualquer \,C_{1} e \,C_{2} constantes (sem relação adicional entre eles) produzem um campo de deslocamento compatível. \n Restrição prática: |C_{1}| e |C_{2}| devem ser suficientemente pequenos para que a hipótese de pequenas deformações (elasticidade linear) seja válida.