Dadas as componentes de deslocamentos u_{1}=0, u_{2}=C_{1} x_{1} e u_{3}=C_{2} x_{2}, onde C_{1} e C_{2} são constantes, verifique quais restrições devem ser tomadas para que as componentes de deslocamentos represente um campo de deslocamento possível e compatível em um corpo linearmente elástico e isotrópico.

Passo 1

O que o enunciado dá:
\,u_{1}=0,\;u_{2}=C_{1}x_{1},\;u_{3}=C_{2}x_{2}\,, com \,C_{1} e \,C_{2} constantes.
O que ele pede:
verificar quais restrições (se houver) sobre \,C_{1} e \,C_{2} para que esse campo de deslocamentos seja um campo possível e compatível num corpo linearmente elástico e isotrópico.
Informações relevantes que já tenho do enunciado:
\,u_{i}=u_{i}(x_{1},x_{2},x_{3}) estão dadas explicitamente; os coeficientes \,C_{1} e \,C_{2} são constantes (não dependem das coordenadas).

Passo 2

Primeiro: vou calcular o gradiente do deslocamento, isto é as derivadas parciais \partial u_{i}/\partial x_{j}. Definição e interpretação rápida:
\;u_{i,j}=\dfrac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\; representa a taxa de variação da componente u_{i} na direção x_{j}.
Calculemos cada derivada (vou escrever todas em TeX):
\begin{aligned} &u_{1,1}=\dfrac{\partial 0}{\partial x_{1}}=0,\quad u_{1,2}=\dfrac{\partial 0}{\partial x_{2}}=0,\quad u_{1,3}=\dfrac{\partial 0}{\partial x_{3}}=0,\\[4pt] &u_{2,1}=\dfrac{\partial (C_{1}x_{1})}{\partial x_{1}}=C_{1},\quad u_{2,2}=\dfrac{\partial (C_{1}x_{1})}{\partial x_{2}}=0,\quad u_{2,3}=0,\\[4pt] &u_{3,1}=0,\quad u_{3,2}=\dfrac{\partial (C_{2}x_{2})}{\partial x_{2}}=C_{2},\quad u_{3,3}=0. \end{aligned}
Posso organizar o gradiente \{u_{i,j}\} como a matriz
\big[u_{i,j}\big]= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] C_{1} & 0 & 0\\[4pt] 0 & C_{2} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora: calcular a tensor de deformação pequena (strain) \epsilon_{ij}. Fórmula fundamental (explicando): em elasticidade linear de pequenas deformações,
\epsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}\big(u_{i,j}+u_{j,i}\big),
onde \epsilon_{ij} é a componente simétrica que mede estiramento e cisalhamento infinitesimal; u_{i,j} são os elementos do gradiente calculados no passo anterior.
Calculemos componente a componente (mostro os detalhes):
\begin{aligned} &\epsilon_{11}=\tfrac{1}{2}(u_{1,1}+u_{1,1})=0,\\[4pt] &\epsilon_{22}=\tfrac{1}{2}(u_{2,2}+u_{2,2})=0,\\[4pt] &\epsilon_{33}=\tfrac{1}{2}(u_{3,3}+u_{3,3})=0,\\[4pt] &\epsilon_{12}=\tfrac{1}{2}(u_{1,2}+u_{2,1})=\tfrac{1}{2}(0+C_{1})=\tfrac{C_{1}}{2},\\[4pt] &\epsilon_{13}=\tfrac{1}{2}(u_{1,3}+u_{3,1})=\tfrac{1}{2}(0+0)=0,\\[4pt] &\epsilon_{23}=\tfrac{1}{2}(u_{2,3}+u_{3,2})=\tfrac{1}{2}(0+C_{2})=\tfrac{C_{2}}{2}. \end{aligned}
Portanto a matriz de deformação é constante e vale
[\epsilon_{ij}]= \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{C_{1}}{2} & 0\\[4pt] \tfrac{C_{1}}{2} & 0 & \tfrac{C_{2}}{2}\\[4pt] 0 & \tfrac{C_{2}}{2} & 0 \end{pmatrix}.
Comentário didático: é muito conveniente que as componentes do tensor de deformação sejam constantes — facilita muito a verificação da compatibilidade.]

Passo 4

Verificação de compatibilidade de campo de deslocamentos.
Existem duas formas equivalentes e clássicas de verificar compatibilidade:
  1. Verificar que as derivadas de segunda ordem do deslocamento são iguais quando trocamos a ordem: u_{i,jk}=u_{i,kj}. Isso garante que existe um campo de deslocamentos único (sem multivaloração) que produz esse gradiente.
  2. Verificar as equações de compatibilidade de Saint‑Venant para \epsilon_{ij}, que em forma compacta dizem que \operatorname{curl}(\operatorname{curl}\,\epsilon)=0. Uma consequência prática: se \epsilon_{ij} é contínuo e tem componentes constantes, essas equações são satisfeitas automaticamente.
Vou usar a (1) porque é direta aqui. Como as entradas de \big[u_{i,j}\big] são constantes, todas as segundas derivadas u_{i,jk} são nulas:
u_{i,jk}=0\quad\text{para todos }i,j,k.
Logo u_{i,jk}=u_{i,kj} vale trivially. Portanto o campo de deslocamento dado é estritamente compatível (não há incompatibilidades geométricas).

Passo 5

Consistência com corpo linearmente elástico e isotrópico (comentário físico e restrições):
Na linearidade e isotropia, a relação tensão‑deformação é dada pela lei de Hooke clássica:
\sigma_{ij}=\lambda\,\epsilon_{kk}\,\delta_{ij}+2\mu\,\epsilon_{ij},
onde \lambda e \mu são constantes de Lame, \delta_{ij} é o delta de Kronecker e \epsilon_{kk}=\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33} é o traço do tensor de deformação.
Aqui \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}=0 (veja passo 3), portanto
\sigma_{ij}=2\mu\,\epsilon_{ij}.
Ou seja, o campo de deslocamento gera um campo de tensões uniformes proporcional a [\epsilon_{ij}]. Não aparece nenhuma inconsistência: qualquer \,C_{1} e \,C_{2} constantes dão tensões constantes compatíveis com a elasticidade linear.
Um comentário importante (físico e prático): a teoria de pequenas deformações assume que as componentes do gradiente de deslocamento são pequenas. Aqui os gradientes não dependem da posição e valem \,C_{1} e \,C_{2} (aparecem nas componentes do gradiente). Para que a hipótese de linearização seja válida na prática, normalmente exigimos que
|C_{1}|\ll 1\quad\text{e}\quad |C_{2}|\ll 1,
ou seja, deformações e rotações infinitesimais. Se \,C_{1} ou \,C_{2} forem grandes, então o modelo linear pode deixar de ser válido e seria preciso usar teoria finita de deformações. Mas isso é uma restrição de modelo, não uma incompatibilidade geométrica.

Passo 6

Resumo da conclusão (explicando em linguagem direta):
  • Geometricamente e matematicamente: o campo é compatível porque as derivadas segundas são zero (campo afim com gradiente constante). Não há nenhuma ligação obrigatória entre \,C_{1} e \,C_{2}.
  • Elasticamente (isotrópico, linear): gera tensões constantes e admissíveis pela lei de Hooke; novamente não impõe restrições entre \,C_{1} e \,C_{2}.
  • Restrição prática: para permanecer no regime da elasticidade linear de pequenas deformações, pedir que |C_{1}| e |C_{2}| sejam suficientemente pequenos.

Resposta

Qualquer \,C_{1} e \,C_{2} constantes (sem relação adicional entre eles) produzem um campo de deslocamento compatível. \n Restrição prática: |C_{1}| e |C_{2}| devem ser suficientemente pequenos para que a hipótese de pequenas deformações (elasticidade linear) seja válida.

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