Os eixos x e y de uma superfície livre de carregamento de um corpo linearmente elástico e isotrópico são direções principais. Determine o ângulo \theta formado entre o eixo x^{\prime} e o eixo x de tal forma que a tensão na direção x possa ser dada diretamente pela deformação obtida por um extensômetro elétrico colocado na posição x, ou seja, \sigma_{x}=K \varepsilon_{x^{\prime}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache o ângulo \theta entre o eixo x' (onde o extensômetro mede deformação) e o eixo x de modo que a tensão na direção x seja dada diretamente pela leitura do extensômetro:
\sigma_{x} = K\,\varepsilon_{x'}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • Os eixos x e y são direções principais: isso significa que, no sistema de eixos x- y, a tensão de cisalhamento é nula, isto é \tau_{xy}=0.
  • O corpo é linearmente elástico e isotrópico: podemos usar as leis lineares de Hooke para ligar tensões e deformações com constantes E (módulo de Young) e \nu (coeficiente de Poisson).
  • A superfície é livre de carregamento (condição de superfície livre): isso nos leva ao caso usual de plane stress quando consideramos a superfície (vermos isso mais adiante).
    A partir daí, queremos relacionar \varepsilon_{x'} (deformação medida numa direção que forma \theta com x) com \sigma_x e \sigma_y, e escolher \theta tal que \varepsilon_{x'} dependa apenas de \sigma_x.

Passo 2

Vou escrever as relações constitutivas (Hooke) para o caso plano (plane stress), e explicar cada termo.
Em plane stress (tensão normal na direção z nula, \sigma_z=0) as deformações normais em x e y são dadas por:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\big(\sigma_x - \nu \sigma_y\big), \qquad \varepsilon_y=\frac{1}{E}\big(\sigma_y - \nu \sigma_x\big).
Explicação das variáveis:
  • \varepsilon_x,\varepsilon_y são as deformações normais nas direções x e y.
  • \sigma_x,\sigma_y são as tensões normais nessas direções.
  • E é o módulo de Young (mede rigidez à tração).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (mede a contração lateral).
    Essas fórmulas vêm da lei de Hooke para materiais isotrópicos em condição de plane stress: cada deformação é proporcional à tensão na mesma direção e também recebe contribuição negativa da tensão perpendicular via \nu.
Como x e y são direções principais, temos também \tau_{xy}=0. Para um material isotrópico linear, a deformação de cisalhamento é proporcional à tensão de cisalhamento por
\gamma_{xy} = \frac{1+\nu}{E}\,\tau_{xy},
portanto aqui \gamma_{xy}=0. Lembre que \gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy} (definição de deformação de cisalhamento engineering).

Passo 3

Escrevo a fórmula de transformação de deformações para a direção x' obtida por rotação de ângulo \theta em relação a x. A deformação normal na direção x' é, em termos das componentes no sistema x- y,
\varepsilon_{x'}=\varepsilon_x\cos^2\theta+\varepsilon_y\sin^2\theta+\varepsilon_{xy}\,2\sin\theta\cos\theta.
Explicando: essa fórmula vem da transformação de tensões/deformações por rotação — ela combina as projeções das deformações normais e a contribuição da deformação de cisalhamento.
Como temos \gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}=0, segue \varepsilon_{xy}=0. Assim a expressão simplifica para
\varepsilon_{x'}=\varepsilon_x\cos^2\theta+\varepsilon_y\sin^2\theta.

Passo 4

Substituo \varepsilon_x e \varepsilon_y (das leis de Hooke do Passo 2) na expressão de \varepsilon_{x'}:
\varepsilon_{x'}= \frac{1}{E}\big(\sigma_x - \nu \sigma_y\big)\cos^2\theta +\frac{1}{E}\big(\sigma_y - \nu \sigma_x\big)\sin^2\theta.
Agrupando termos em \sigma_x e \sigma_y:
\varepsilon_{x'}=\frac{1}{E}\Big[\sigma_x\big(\cos^2\theta-\nu\sin^2\theta\big) +\sigma_y\big(\\\ -\nu\cos^2\theta+\sin^2\theta\big)\Big].
Queremos que \sigma_x seja proporcional a \varepsilon_{x'} independentemente de \sigma_y. Ou seja, precisamos que o coeficiente de \sigma_y dentro dos colchetes seja zero. Assim imponho:
-\nu\cos^2\theta+\sin^2\theta=0.
Resolvo essa equação para \theta. Reescrevendo:
\sin^2\theta=\nu\cos^2\theta \quad\Rightarrow\quad \tan^2\theta=\nu.
Portanto
\tan\theta=\pm\sqrt{\nu}.
Escolhendo a solução principal positiva (há simetria de sinal porque girar no sentido oposto simplesmente troca o sinal do ângulo), obtemos
\theta=\arctan\!\big(\sqrt{\nu}\,\big).
Observação: também valem as soluções \theta=-\arctan(\sqrt{\nu}) e qualquer adição de \pi (rotação por 180^\circ dá o mesmo eixo).

Passo 5

Agora que impusemos a anulação do termo em \sigma_y, encontramos a relação entre \varepsilon_{x'} e \sigma_x. Volto à expressão completa e uso a condição \sin^2\theta=\nu\cos^2\theta para simplificar o coeficiente de \sigma_x.
Calculo \cos^2\theta e \sin^2\theta em função de \nu. Da relação \tan^2\theta=\nu segue
\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+\nu}, \qquad \sin^2\theta=\frac{\nu}{1+\nu}.
Substituo no coeficiente de \sigma_x:
\cos^2\theta-\nu\sin^2\theta=\frac{1}{1+\nu}-\nu\cdot\frac{\nu}{1+\nu} =\frac{1-\nu^2}{1+\nu}=\frac{(1-\nu)(1+\nu)}{1+\nu}=1-\nu.
Logo a relação fica
\varepsilon_{x'}=\frac{1}{E}\big(1-\nu\big)\sigma_x.
Invertendo para obter \sigma_x em função de \varepsilon_{x'},
\sigma_x=\frac{E}{1-\nu}\,\varepsilon_{x'}.
Portanto o fator K pedido é
K=\frac{E}{1-\nu}.

Passo 6

Resumo físico e dicas para a prova (rápido e prático):
  • A condição chave foi pedir que a leitura do extensômetro ( \varepsilon_{x'}) dependa só de \sigma_x; isso força o coeficiente de \sigma_y a zero na expressão de \varepsilon_{x'}.
  • A equação resultante dá \tan^2\theta=\nu. Para um material comum com 0<\nu<0,5, \theta é um ângulo agudo.
  • O ganho K não depende de \theta no final (desde que \theta satisfaça a condição), e vale E/(1-\nu).
  • Soluções alternativas de \theta: \theta=\pm\arctan(\sqrt{\nu})+k\pi.

Resposta

\displaystyle \theta=\arctan\!\big(\sqrt{\nu}\,\big) (também \theta=-\arctan(\sqrt{\nu}) ou \theta=\arctan(\sqrt{\nu})+k\pi)\newline
\displaystyle K=\frac{E}{1-\nu}

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