Os eixos
e
de uma superfície livre de carregamento de um corpo linearmente elástico e isotrópico são direções principais. Determine o ângulo
formado entre o eixo
e o eixo
de tal forma que a tensão na direção
possa ser dada diretamente pela deformação obtida por um extensômetro elétrico colocado na posição
, ou seja,
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache o ângulo
entre o eixo
(onde o extensômetro mede deformação) e o eixo
de modo que a tensão na direção
seja dada diretamente pela leitura do extensômetro:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- Os eixos
e são direções principais: isso significa que, no sistema de eixos - , a tensão de cisalhamento é nula, isto é . - O corpo é linearmente elástico e isotrópico: podemos usar as leis lineares de Hooke para ligar tensões e deformações com constantes
(módulo de Young) e (coeficiente de Poisson). - A superfície é livre de carregamento (condição de superfície livre): isso nos leva ao caso usual de plane stress quando consideramos a superfície (vermos isso mais adiante).
A partir daí, queremos relacionar(deformação medida numa direção que forma com ) com e , e escolher tal que dependa apenas de .
Passo 2
Vou escrever as relações constitutivas (Hooke) para o caso plano (plane stress), e explicar cada termo.
Em plane stress (tensão normal na direção
nula,
) as deformações normais em
e
são dadas por:
Explicação das variáveis:
-
são as deformações normais nas direções e . -
são as tensões normais nessas direções. -
é o módulo de Young (mede rigidez à tração). -
é o coeficiente de Poisson (mede a contração lateral).
Essas fórmulas vêm da lei de Hooke para materiais isotrópicos em condição de plane stress: cada deformação é proporcional à tensão na mesma direção e também recebe contribuição negativa da tensão perpendicular via.
Como
e
são direções principais, temos também
. Para um material isotrópico linear, a deformação de cisalhamento é proporcional à tensão de cisalhamento por
portanto aqui
. Lembre que
(definição de deformação de cisalhamento engineering).
Passo 3
Escrevo a fórmula de transformação de deformações para a direção
obtida por rotação de ângulo
em relação a
. A deformação normal na direção
é, em termos das componentes no sistema
-
,
Explicando: essa fórmula vem da transformação de tensões/deformações por rotação — ela combina as projeções das deformações normais e a contribuição da deformação de cisalhamento.
Como temos
, segue
. Assim a expressão simplifica para
Passo 4
Substituo
e
(das leis de Hooke do Passo 2) na expressão de
:
Agrupando termos em
e
:
Queremos que
seja proporcional a
independentemente de
. Ou seja, precisamos que o coeficiente de
dentro dos colchetes seja zero. Assim imponho:
Resolvo essa equação para
. Reescrevendo:
Portanto
Escolhendo a solução principal positiva (há simetria de sinal porque girar no sentido oposto simplesmente troca o sinal do ângulo), obtemos
Observação: também valem as soluções
e qualquer adição de
(rotação por
dá o mesmo eixo).
Passo 5
Agora que impusemos a anulação do termo em
, encontramos a relação entre
e
. Volto à expressão completa e uso a condição
para simplificar o coeficiente de
.
Calculo
e
em função de
. Da relação
segue
Substituo no coeficiente de
:
Logo a relação fica
Invertendo para obter
em função de
,
Portanto o fator
pedido é
Passo 6
Resumo físico e dicas para a prova (rápido e prático):
- A condição chave foi pedir que a leitura do extensômetro (
) dependa só de ; isso força o coeficiente de a zero na expressão de . - A equação resultante dá
. Para um material comum com , é um ângulo agudo. - O ganho
não depende de no final (desde que satisfaça a condição), e vale . - Soluções alternativas de
: .