Um corpo de massa 10 Kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que as únicas forças atuando sobre ele não o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade (FR=alpha v). Admitindo-se que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é 8 m / s, determine a velocidade no instante t. Suponha que a aceleração gravitacional seja de 10 m / s^2. Dica: Utilize devidamente a segunda lei de Newton em sua forma diferencial para construir a EDO.

Passo 1

Temos um corpo de massa m=10 kg sujeito somente ao peso e a uma força de resistência proporcional à velocidade, FR=alpha v. Vamos aplicar a segunda lei de Newton na forma diferencial para obter uma EDO em v(t).

Passo 2

Escolhendo o eixo positivo para baixo, a soma das forças é
mdvdt=mg-alpha v
Dividindo por m obtemos a EDO linear
dvdt+alpham,v=g

Passo 3

O fator integrante é mu(t)=e^(alpha/m)t. Multiplicando a EDO por mu vem
ddtl(v,e^(alpha/m)tr)=g,e^(alpha/m)t
Integrando,
v,e^(alpha/m)t=gmalpha,e^(alpha/m)t+C Longrightarrow v(t)=mgalpha+C,e^-(alpha/m)t

Passo 4

Usando v(0)=0
0=mgalpha+C Rightarrow C=-mgalpha
Logo a solução geral é
v(t)=mgalphal(1-e^-(alpha/m)tr)

Passo 5

Substituindo m=10 kg e g=10 m/ s^2 fica
v(t)=100alphal(1-e^-(alpha/10)tr)
Como v(1)=8,m/s,
8=100alphal(1-e^-alpha/10r) Longrightarrow e^-alpha/10=1-0,08,alpha
Resolvendo numericamente obtém-se alphaapprox4,7 kg/s.

Passo 6

Com alphaapprox4,7 e alpha/mapprox0,47, a velocidade é
v(t)=1004,7l(1-e^-0,47,tr) approx21,3l(1-e^-0,47,tr) m/s

Resposta

v(t)=1004,7l(1-e^-0,47,tr) m/s

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