Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de
.
a) Para quais valores da constante de amortecimento
o sistema é superamortecido, tem amortecimento crítico e é subamortecido.
b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de
dinas (
) quando a velocidade é de
. Se o sistema é puxado para baixo 2 cm e depois é solto, determine a posição
em função do tempo
. Qual o valor do quase período?
a) Para quais valores da constante de amortecimento
b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de
Passo 1
O enunciado dá um corpo de massa
gramas que estica uma mola
centímetros; há um amortecedor viscoso com constante
(desconhecida). Aceleração da gravidade é
. As perguntas são:
- (a) Para quais valores de
o sistema é superamortecido, tem amortecimento crítico e é subamortecido? - (b) Foi dado que o amortecedor exerce
dinas quando a velocidade é . Supondo que o sistema é puxado para baixo cm e então solto (velocidade inicial zero), determine a posição e o quase-período do movimento.
Informações relevantes dadas:
-
g. - Alongamento estático:
cm (isto é, o peso equilibra a mola). -
. - Força viscosa medida:
dinas a . - Condições iniciais para (b): puxado
cm para baixo e solto cm, (medindo a partir da posição de equilíbrio estático, como vou explicar no próximo passo).
Passo 2
Encontrar a constante elástica
da mola usando o equilíbrio estático. Explicação do conceito: na posição de equilíbrio estático a força elástica da mola (para cima) iguala o peso (para baixo). Assim,
Aqui todas as grandezas estão em unidades cgs (gramas, centímetros, segundos), então as forças estão em dinas. Substituindo:
Portanto
(unidade: dyn/cm). Anotação: em cgs uma força de
dina =
.
Passo 3
Modelagem do movimento (formulação do ODE). Ensino rápido: Para uma massa presa a uma mola com amortecimento viscoso (força proporcional à velocidade), tomando
deslocamento em relação à posição de equilíbrio estático, a equação do movimento é
Observação importante (por que escolhi coordenada medida a partir da posição de equilíbrio): ao medir em relação à posição onde o peso é equilibrado pela mola, o termo gravitacional some do ODE, ficando homogêneo, o que simplifica a resolução e é padrão nesses problemas. Com os valores numéricos sabemos já
e
.
Para classificar o amortecimento usamos a equação característica associada:
O comportamento depende do discriminante
. Em termos práticos a condição típica é comparar
com
:
- se
: raízes reais distintas superamortecido; - se
: raízes reais iguais amortecimento crítico; - se
: raízes complexas conjugadas subamortecido (movimento oscilatório amortecido).
Passo 4
Calcular o valor crítico de
(amortecimento crítico). Primeiro calcule
:
Então o valor crítico de
é
Conclusão (resposta da parte a): o sistema é
Passo 5
Agora a parte (b): determinar
a partir da medida do amortecedor. Explicação: amortecimento viscoso linear tem lei
. Assim
Comparando com
temos
, logo o sistema é subamortecido (confirmando que ocorrerão oscilações amortecidas).
Passo 6
Montar o ODE numérico e caracterizar os parâmetros. Dividindo por
obtemos
pois
e
.
Definições úteis (ensino rápido):
- taxa de amortecimento
. Aqui
- frequência natural não amortecida
. - frequência amortecida (frequência angular das oscilações)
. Como o sistema é subamortecido, e
A solução geral para o caso subamortecido é da forma
Passo 7
Aplicar as condições iniciais e determinar
e
. Condições:
cm (puxado 2 cm para baixo) e
. Primeiro, avaliando em
:
Derivando a solução:
Em
:
Assim
Passo 8
Escrever a solução final explícita (forma canônica) e também em forma amplitude-fase. Substituindo
e
:
Fatorando
:
Pode também escrever em forma de amplitude e fase. Calculando amplitude inicial efetiva:
Logo
Passo 9
Calcular o quase-período (período das oscilações amortecidas). Definição: o quase-período é
. Assim
(Usei vírgula como separador decimal.)
Resposta
a)
b)
b) Quase-período: