Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 10^{3} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}.
a) Para quais valores da constante de amortecimento \gamma o sistema é superamortecido, tem amortecimento crítico e é subamortecido.
b) Suponha que o amortecedor exerce uma força de 10^{4} dinas ( \mathrm{g} . \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2} ) quando a velocidade é de 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Se o sistema é puxado para baixo 2 cm e depois é solto, determine a posição u em função do tempo t. Qual o valor do quase período?

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa 100 gramas que estica uma mola 10 centímetros; há um amortecedor viscoso com constante \gamma (desconhecida). Aceleração da gravidade é 10^{3}\\ \mathrm{cm/s^{2}}. As perguntas são:
  • (a) Para quais valores de \gamma o sistema é superamortecido, tem amortecimento crítico e é subamortecido?
  • (b) Foi dado que o amortecedor exerce 10^{4} dinas quando a velocidade é 10\\ \mathrm{cm/s}. Supondo que o sistema é puxado para baixo 2 cm e então solto (velocidade inicial zero), determine a posição u(t) e o quase-período do movimento.
Informações relevantes dadas:
  • m=100 g.
  • Alongamento estático: x_{\text{eq}}=10 cm (isto é, o peso equilibra a mola).
  • g=10^{3}\\ \mathrm{cm/s^{2}}.
  • Força viscosa medida: F_{\text{visc}}=10^{4} dinas a v=10\\ \mathrm{cm/s}.
  • Condições iniciais para (b): puxado 2 cm para baixo e solto \Rightarrow u(0)=2 cm, u'(0)=0 (medindo u a partir da posição de equilíbrio estático, como vou explicar no próximo passo).

Passo 2

Encontrar a constante elástica k da mola usando o equilíbrio estático. Explicação do conceito: na posição de equilíbrio estático a força elástica da mola (para cima) iguala o peso (para baixo). Assim,
k x_{\text{eq}} = m g.
Aqui todas as grandezas estão em unidades cgs (gramas, centímetros, segundos), então as forças estão em dinas. Substituindo:
k = \frac{m g}{x_{\text{eq}}} = \frac{100\cdot 10^{3}}{10} = 10^{4}.
Portanto \,k=10^{4}\, (unidade: dyn/cm). Anotação: em cgs uma força de 1 dina = 1\\ \mathrm{g\cdot cm/s^{2}}.

Passo 3

Modelagem do movimento (formulação do ODE). Ensino rápido: Para uma massa presa a uma mola com amortecimento viscoso (força proporcional à velocidade), tomando u(t) deslocamento em relação à posição de equilíbrio estático, a equação do movimento é
m\,u''(t)+\gamma\,u'(t)+k\,u(t)=0.
Observação importante (por que escolhi coordenada medida a partir da posição de equilíbrio): ao medir em relação à posição onde o peso é equilibrado pela mola, o termo gravitacional some do ODE, ficando homogêneo, o que simplifica a resolução e é padrão nesses problemas. Com os valores numéricos sabemos já m=100 e k=10^{4}.
Para classificar o amortecimento usamos a equação característica associada:
r^{2}+\frac{\gamma}{m}r+\frac{k}{m}=0.
O comportamento depende do discriminante \Delta=\left(\frac{\gamma}{m}\right)^{2}-4\frac{k}{m}=\frac{\gamma^{2}-4mk}{m^{2}}. Em termos práticos a condição típica é comparar \gamma^{2} com 4mk:
  • se \gamma^{2}>4mk: raízes reais distintas \Rightarrow superamortecido;
  • se \gamma^{2}=4mk: raízes reais iguais \Rightarrow amortecimento crítico;
  • se \gamma^{2}<4mk: raízes complexas conjugadas \Rightarrow subamortecido (movimento oscilatório amortecido).

Passo 4

Calcular o valor crítico de \gamma (amortecimento crítico). Primeiro calcule 4 m k:
4 m k = 4\cdot 100\cdot 10^{4} = 4\cdot 10^{6}.
Então o valor crítico de \gamma é
\gamma_{\text{cr}}=\sqrt{4 m k}=\sqrt{4\cdot 10^{6}}=2000.
Conclusão (resposta da parte a): o sistema é
\text{superamortecido se }\gamma>2000,\qquad \text{criticamente amortecido se }\gamma=2000,\qquad \text{subamortecido se }\gamma<2000.

Passo 5

Agora a parte (b): determinar \gamma a partir da medida do amortecedor. Explicação: amortecimento viscoso linear tem lei F_{\text{visc}}=\gamma v. Assim
\gamma=\frac{F_{\text{visc}}}{v}=\frac{10^{4}}{10}=10^{3}=1000\quad(\mathrm{g/s}).
Comparando com \gamma_{\text{cr}}=2000 temos \gamma=1000<2000, logo o sistema é subamortecido (confirmando que ocorrerão oscilações amortecidas).

Passo 6

Montar o ODE numérico e caracterizar os parâmetros. Dividindo por m=100 obtemos
u''+ \frac{\gamma}{m}u' + \frac{k}{m}u = 0 \quad\Rightarrow\quad u'' + 10\,u' + 100\,u = 0,
pois \gamma/m =1000/100=10 e k/m=10^{4}/100=100.
Definições úteis (ensino rápido):
  • taxa de amortecimento \alpha=\dfrac{\gamma}{2m}. Aqui
\alpha=\frac{1000}{2\cdot 100}=5\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • frequência natural não amortecida \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • frequência amortecida (frequência angular das oscilações) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}. Como o sistema é subamortecido, \omega_{0}>\alpha e
\omega_{d}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
A solução geral para o caso subamortecido é da forma
u(t)=e^{-\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega_{d}t)+C_{2}\sin(\omega_{d}t)\big).

Passo 7

Aplicar as condições iniciais e determinar C_{1} e C_{2}. Condições: u(0)=2 cm (puxado 2 cm para baixo) e u'(0)=0. Primeiro, avaliando em t=0:
u(0)=C_{1}=2.
Derivando a solução:
u'(t)=e^{-\alpha t}\Big(-\alpha(C_{1}\cos\omega_{d}t+C_{2}\sin\omega_{d}t)-C_{1}\omega_{d}\sin\omega_{d}t+C_{2}\omega_{d}\cos\omega_{d}t\Big).
Em t=0:
u'(0)=-\alpha C_{1} + \omega_{d} C_{2}=0.
Assim
C_{2}=\frac{\alpha}{\omega_{d}}C_{1}=\frac{5}{5\sqrt{3}}\cdot 2=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 8

Escrever a solução final explícita (forma canônica) e também em forma amplitude-fase. Substituindo C_{1} e C_{2}:
u(t)=e^{-5t}\left(2\cos(5\sqrt{3}\,t)+\frac{2}{\sqrt{3}}\sin(5\sqrt{3}\,t)\right)\\ \text{cm}.
Fatorando 2:
u(t)=2e^{-5t}\left(\cos(5\sqrt{3}\,t)+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(5\sqrt{3}\,t)\right)\\ \text{cm}.
Pode também escrever em forma de amplitude e fase. Calculando amplitude inicial efetiva:
A=2\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \text{cm}, \qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.
Logo
u(t)=\frac{4}{\sqrt{3}}\,e^{-5t}\cos\!\big(5\sqrt{3}\,t-\tfrac{\pi}{6}\big)\\ \text{cm}.

Passo 9

Calcular o quase-período (período das oscilações amortecidas). Definição: o quase-período é T_{d}=\dfrac{2\pi}{\omega_{d}}. Assim
T_{d}=\frac{2\pi}{5\sqrt{3}}\\ \text{s}\approx\frac{6{,}283185}{8{,}660254}\\ \text{s}\approx 0{,}726\\ \text{s}.
(Usei vírgula como separador decimal.)

Resposta

a) \text{superamortecido: }\gamma>2000;\qquad \text{amortecimento crítico: }\gamma=2000;\qquad \text{subamortecido: }\gamma<2000.í
b) u(t)=e^{-5t}\!\left(2\cos\!\big(5\sqrt{3}\,t\big)+\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\!\big(5\sqrt{3}\,t\big)\right)\\ \text{cm}.
b) Quase-período: \displaystyle T_{d}=\frac{2\pi}{5\sqrt{3}}\\ \text{s}\approx 0{,}726\\ \text{s}.

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