Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de
centímetros por segundo ao quadrado. Suponha que o amortecedor exerce uma força de 4200 dinas quando a velocidade é de 1 centímetro por segundo. Se o corpo está sob a ação também de uma força externa de
dinas, determine a posição
em função do tempo
, considerando somente a solução estacionária.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Massa do corpo:
gramas. - A mola é esticada
centímetros pelo peso do corpo: extensão em equilíbrio cm (peguei este dado do enunciado). - Gravidade:
centímetros por segundo ao quadrado. - Força do amortecedor:
dinas quando a velocidade é cm/s. Isso dá o coeficiente de amortecimento (peguei este dado do enunciado). - Força externa:
dinas (peguei este dado do enunciado). - O que pedem: determinar a posição
em função do tempo, considerando somente a solução estacionária (ou seja, o regime permanente, sem transientes).
Passo 2
Calcular constantes físicas necessárias a partir dos dados.
- Constante elástica da mola
. Em equilíbrio o peso é equilibrado pela força elástica . Assim:
Aqui
em unidades cgs (dinas) é
dinas. Como
cm:
- Coeficiente de amortecimento
. O enunciado diz que a força é dinas quando cm/s, logo
- Reescrevendo as quantidades para montar a equação:
(g), , , forçante . (Tudo em unidades cgs: g, cm, s, dyn.)
Passo 3
Escolher a coordenada e escrever a EDO. Medimos
a partir da posição de equilíbrio estático (aquela em que a mola está esticada
cm). Essa escolha elimina o termo constante de gravidade da equação (a força peso já está balanceada pela mola em repouso). A equação do movimento linear amortecido forçado fica então:
Substituindo os valores numéricos:
Dividindo por
para simplificar:
Passo 4
Explicar o que é a solução estacionária e escolher a forma tentativa. A solução geral da EDO é soma da solução homogênea (transientes) e de uma solução particular. A solução estacionária (regime permanente) é justamente a solução particular que persiste quando os transientes morreram. Como a forçante é harmônica
, a solução particular em regime permanente será também uma combinação de
e
(mesma frequência). Então tentamos:
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas e substituir na EDO para obter um sistema para
e
.
Derivadas:
Substituindo em
obtemos (agrupando termos em
e
):
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Simplificando os números
, as equações ficam
Ou, reorganizando,
Passo 6
Resolver o sistema linear para
e
.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Calcular
.
Então
Então
Logo
Para simplificar como fração exata, note que
Dividindo numerador e denominador por
dá
Agora
Passo 7
Escrever a solução estacionária encontrada e interpretar em forma de amplitude-fase.
A solução estacionária é
Podemos reescrever em forma de amplitude e fase. Calcule a amplitude
e a fase
:
Como
, a solução fica muito simples:
onde
satisfaz
ou seja
Observação final: a solução completa teria também os termos da solução homogênea (transientes que decaem por causa do amortecimento), mas como o enunciado pede somente a solução estacionária, a expressão acima é a resposta desejada.