Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Suponha que a aceleração da gravidade seja de 10^{3} centímetros por segundo ao quadrado. Suponha que o amortecedor exerce uma força de 4200 dinas quando a velocidade é de 1 centímetro por segundo. Se o corpo está sob a ação também de uma força externa de 26000 \cos (6 t) dinas, determine a posição u em função do tempo t, considerando somente a solução estacionária.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Massa do corpo: m=100 gramas.
  • A mola é esticada 10 centímetros pelo peso do corpo: extensão em equilíbrio x_0=10 cm (peguei este dado do enunciado).
  • Gravidade: g=10^{3} centímetros por segundo ao quadrado.
  • Força do amortecedor: 4200 dinas quando a velocidade é 1 cm/s. Isso dá o coeficiente de amortecimento (peguei este dado do enunciado).
  • Força externa: F(t)=26000\cos(6t) dinas (peguei este dado do enunciado).
  • O que pedem: determinar a posição u(t) em função do tempo, considerando somente a solução estacionária (ou seja, o regime permanente, sem transientes).

Passo 2

Calcular constantes físicas necessárias a partir dos dados.
  • Constante elástica da mola k. Em equilíbrio o peso mg é equilibrado pela força elástica kx_0. Assim:
k x_0 = m g.
Aqui m g em unidades cgs (dinas) é 100\cdot 10^{3}=10^{5} dinas. Como x_0=10 cm:
k=\frac{m g}{x_0}=\frac{10^{5}}{10}=10^{4}\\ \text{dyn/cm}.
  • Coeficiente de amortecimento c. O enunciado diz que a força é 4200 dinas quando v=1 cm/s, logo
c=4200\\ \frac{\text{dyn}}{\text{cm/s}}.
  • Reescrevendo as quantidades para montar a equação: m=100 (g), c=4200, k=10000, forçante F(t)=26000\cos(6t). (Tudo em unidades cgs: g, cm, s, dyn.)

Passo 3

Escolher a coordenada e escrever a EDO. Medimos u(t) a partir da posição de equilíbrio estático (aquela em que a mola está esticada 10 cm). Essa escolha elimina o termo constante de gravidade da equação (a força peso já está balanceada pela mola em repouso). A equação do movimento linear amortecido forçado fica então:
m\,u''(t)+c\,u'(t)+k\,u(t)=F(t).
Substituindo os valores numéricos:
100\,u''+4200\,u'+10000\,u=26000\cos(6t).
Dividindo por 100 para simplificar:
u''+42\,u'+100\,u=260\cos(6t).

Passo 4

Explicar o que é a solução estacionária e escolher a forma tentativa. A solução geral da EDO é soma da solução homogênea (transientes) e de uma solução particular. A solução estacionária (regime permanente) é justamente a solução particular que persiste quando os transientes morreram. Como a forçante é harmônica \cos(6t), a solução particular em regime permanente será também uma combinação de \cos(6t) e \sin(6t) (mesma frequência). Então tentamos:
u_p(t)=A\cos(6t)+B\sin(6t),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas e substituir na EDO para obter um sistema para A e B.
Derivadas:
u_p'(t)=-6A\sin(6t)+6B\cos(6t),
u_p''(t)=-36A\cos(6t)-36B\sin(6t).
Substituindo em
u''+42u'+100u=260\cos(6t)
obtemos (agrupando termos em \cos(6t) e \sin(6t)):
coeficiente de \cos(6t):
-36A + 42\cdot 6B + 100A = 260,
coeficiente de \sin(6t):
-36B - 42\cdot 6A + 100B = 0.
Simplificando os números 42\cdot 6=252, as equações ficam
(-36A+252B+100A)=260,
(-36B-252A+100B)=0.
Ou, reorganizando,
64A +252B =260,
-252A +64B =0.

Passo 6

Resolver o sistema linear para A e B.
Da segunda equação:
64B=252A \quad\Rightarrow\quad B=\frac{252}{64}A=\frac{63}{16}A.
Substituindo na primeira:
64A +252\cdot\frac{63}{16}A =260.
Calcular 252\cdot\frac{63}{16}=\frac{252\cdot63}{16}=\frac{15876}{16}=992{,}25.
Então
64A+992{,}25A=1056{,}25A=260.
Logo
A=\frac{260}{1056{,}25}.
Para simplificar como fração exata, note que
A=\frac{26000}{105625}=\frac{1040}{4225}.
Dividindo numerador e denominador por 13
A=\frac{80}{325}=\frac{16}{65}.
Agora B=\frac{63}{16}A=\frac{63}{16}\cdot\frac{16}{65}=\frac{63}{65}.

Passo 7

Escrever a solução estacionária encontrada e interpretar em forma de amplitude-fase.
A solução estacionária é
u_p(t)=\frac{16}{65}\cos(6t)+\frac{63}{65}\sin(6t).
Podemos reescrever em forma de amplitude e fase. Calcule a amplitude R e a fase \varphi:
R=\sqrt{\Big(\frac{16}{65}\Big)^2+\Big(\frac{63}{65}\Big)^2}=\frac{1}{65}\sqrt{16^2+63^2}=\frac{\sqrt{4225}}{65}=\frac{65}{65}=1.
Como R=1, a solução fica muito simples:
u_p(t)=\cos(6t-\varphi),
onde \varphi satisfaz
\cos\varphi=\frac{16}{65},\qquad \sin\varphi=\frac{63}{65},
ou seja
\varphi=\arctan\!\bigg(\frac{63}{16}\bigg).
Observação final: a solução completa teria também os termos da solução homogênea (transientes que decaem por causa do amortecimento), mas como o enunciado pede somente a solução estacionária, a expressão acima é a resposta desejada.

Resposta

u(t)=\frac{16}{65}\cos(6t)+\frac{63}{65}\sin(6t)=\cos\!\bigg(6t-\arctan\!\bigg(\frac{63}{16}\bigg)\bigg).

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