Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de
centímetros por segundo ao quadrado. Se o sistema é colocado em movimento na posição de equilíbrio com uma força externa de
dinas, para
igual a frequência de ressonância, determine a posição do corpo como função do tempo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Massa do corpo:
gramas. - A gravidade vale:
centímetros por segundo ao quadrado. - A mola estica
centímetros sob o peso do corpo. Ou seja, a extensão de equilíbrio cm quando a força peso está aplicada. - Força externa aplicada:
dinas. - O enunciado diz que
é igual à frequência de ressonância do sistema (ou seja ). - Pede: determinar a posição do corpo como função do tempo
.
Observação sobre as condições iniciais: o enunciado diz que “o sistema é colocado em movimento na posição de equilíbrio com uma força externa…”. Interpreto isso como que, no instante
, a massa está na posição de equilíbrio e em repouso, portanto usarei como condições iniciais
(Isto é o caso típico: a força começa a atuar quando o bloco está na posição de equilíbrio sem velocidade.)
Passo 2
Encontrar a constante elástica da mola
a partir do equilíbrio estático.
Explicação física rápida: na posição de equilíbrio a força restauradora da mola equilibra o peso do corpo. Pelo princípio de Hooke e pela segunda lei na situação estática:
onde
é a constante da mola (em dyn/cm em c.g.s.),
é a extensão (cm),
é a massa (g) e
é a aceleração da gravidade (cm/s
).
Agora calculando com os números do enunciado (peguei
do enunciado):
Portanto
dyn/cm.
Passo 3
Escrever a equação de movimento e identificar a frequência natural.
Explicação conceitual: para pequenas oscilações sem amortecimento, medindo
a partir da posição de equilíbrio, a equação de movimento pelo segundo princípio de Newton é
onde
é a deslocamento (cm), as derivadas são em relação ao tempo (s),
em gramas,
em dyn/cm e
em dynes. Aqui
.
A frequência natural (angular) do sistema livre é
Substituindo
e
(ambos em c.g.s.),
Logo
rad/s. Como o enunciado diz que a força externa tem
frequência de ressonância, temos
.
Passo 4
Reescrever a EDO com os valores e reconhecer o caso de ressonância.
A equação é
Dividindo por
para simplificar,
Note que
e
. Então estamos no caso clássico de forramento em ressonância (força externa com mesma frequência da oscilação natural) e a equação torna-se
com
e
.
Passo 5
Resolver a equação homogênea e escrever a forma geral da solução.
A equação homogênea associada é
cuja solução geral é
Isto é padrão: soluções de uma oscilação harmônica simples com frequência
.
Passo 6
Construir uma solução particular para o caso de ressonância (método dos coeficientes indeterminados) e determinar seus coeficientes.
Explicação do método: quando a força forçante tem a mesma frequência que a solução homogênea, a tentativa usual
falha porque é solução da homogênea. No caso de ressonância tenta-se uma solução particular da forma
Agora calculemos
e substituamos na equação para achar
e
. Vou mostrar os pontos essenciais do cálculo.
Primeiro derivadas (usando regras do produto):
Agora substituindo em
(ou, de forma normalizada, em
) nota-se que os termos multiplicados por
se cancelam porque
. O que sobra é
Isto deve ser igual ao termo forçante normalizado
. Igualando coeficientes das funções
e
obtemos
Daí
e
Passo 7
Calcular o coeficiente numérico
e escrever a solução particular numérica.
Substituindo
,
e
(peguei esses valores dos dados e dos cálculos anteriores):
Portanto a solução particular é
Passo 8
Escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais.
A solução geral é
Usando as condições iniciais (assumi
e
):
- Em
: , logo . - Derivando
:
Em
:
. Impor
dá
.
Assim a solução completa com as condições iniciais é apenas a parte particular:
Passo 9
Interpretação física curta e unidade.
- A solução
(com em segundos) está em centímetros, ou seja
- Fenomeno: por existir ressonância sem amortecimento, a amplitude efetiva cresce proporcionalmente ao tempo (crescimento linear), o que leva a oscilações de amplitude cada vez maiores — isso é a consequência física da ressonância não amortecida.