Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^{3} centímetros por segundo ao quadrado. Se o sistema é colocado em movimento na posição de equilíbrio com uma força externa de 1000 \cos (\omega t) dinas, para \omega igual a frequência de ressonância, determine a posição do corpo como função do tempo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Massa do corpo: m=100 gramas.
  • A gravidade vale: g=10^{3} centímetros por segundo ao quadrado.
  • A mola estica 10 centímetros sob o peso do corpo. Ou seja, a extensão de equilíbrio x_{\text{eq}}=10 cm quando a força peso está aplicada.
  • Força externa aplicada: F(t)=1000\cos(\omega t) dinas.
  • O enunciado diz que \omega é igual à frequência de ressonância do sistema (ou seja \omega=\omega_0).
  • Pede: determinar a posição do corpo como função do tempo y(t).
Observação sobre as condições iniciais: o enunciado diz que “o sistema é colocado em movimento na posição de equilíbrio com uma força externa…”. Interpreto isso como que, no instante t=0, a massa está na posição de equilíbrio e em repouso, portanto usarei como condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
(Isto é o caso típico: a força começa a atuar quando o bloco está na posição de equilíbrio sem velocidade.)

Passo 2

Encontrar a constante elástica da mola k a partir do equilíbrio estático.
Explicação física rápida: na posição de equilíbrio a força restauradora da mola equilibra o peso do corpo. Pelo princípio de Hooke e pela segunda lei na situação estática:
k x_{\text{eq}} = m g,
onde k é a constante da mola (em dyn/cm em c.g.s.), x_{\text{eq}} é a extensão (cm), m é a massa (g) e g é a aceleração da gravidade (cm/s ^2).
Agora calculando com os números do enunciado (peguei m,g,x_{\text{eq}} do enunciado):
k=\frac{m g}{x_{\text{eq}}}=\frac{100\cdot 10^{3}}{10}= \frac{100\,000}{10}=10\,000.
Portanto \;k=10\,000 dyn/cm.

Passo 3

Escrever a equação de movimento e identificar a frequência natural.
Explicação conceitual: para pequenas oscilações sem amortecimento, medindo y(t) a partir da posição de equilíbrio, a equação de movimento pelo segundo princípio de Newton é
m y''(t) + k y(t) = F(t),
onde y é a deslocamento (cm), as derivadas são em relação ao tempo (s), m em gramas, k em dyn/cm e F(t) em dynes. Aqui F(t)=1000\cos(\omega t).
A frequência natural (angular) do sistema livre é
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Substituindo k=10\,000 e m=100 (ambos em c.g.s.),
\omega_{0}=\sqrt{\frac{10\,000}{100}}=\sqrt{100}=10.
Logo \omega_{0}=10 rad/s. Como o enunciado diz que a força externa tem \omega= frequência de ressonância, temos \omega=\omega_{0}=10.

Passo 4

Reescrever a EDO com os valores e reconhecer o caso de ressonância.
A equação é
100\, y''(t) + 10\,000\, y(t) = 1000\cos(\omega t).
Dividindo por 100 para simplificar,
y''(t) + 100\, y(t) = 10\cos(\omega t).
Note que 100= \omega_{0}^{2} e \omega=\omega_{0}=10. Então estamos no caso clássico de forramento em ressonância (força externa com mesma frequência da oscilação natural) e a equação torna-se
y''(t) + \omega_{0}^{2} y(t) = \frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{0} t),
com F_{0}=1000 e \dfrac{F_{0}}{m}=10.

Passo 5

Resolver a equação homogênea e escrever a forma geral da solução.
A equação homogênea associada é
y'' + \omega_{0}^{2} y = 0,
cuja solução geral é
y_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega_{0} t)+C_{2}\sin(\omega_{0} t).
Isto é padrão: soluções de uma oscilação harmônica simples com frequência \omega_{0}.

Passo 6

Construir uma solução particular para o caso de ressonância (método dos coeficientes indeterminados) e determinar seus coeficientes.
Explicação do método: quando a força forçante tem a mesma frequência que a solução homogênea, a tentativa usual \,A\cos(\omega_{0} t)+B\sin(\omega_{0} t)\, falha porque é solução da homogênea. No caso de ressonância tenta-se uma solução particular da forma
y_{p}(t)=t\bigl(A\cos(\omega_{0} t)+B\sin(\omega_{0} t)\bigr).
Agora calculemos y_{p}'' e substituamos na equação para achar A e B. Vou mostrar os pontos essenciais do cálculo.
Primeiro derivadas (usando regras do produto):
y_{p}(t)=t(A\cos\omega_{0} t + B\sin\omega_{0} t).
y_{p}'(t)=A\cos\omega_{0} t + B\sin\omega_{0} t + t(-A\omega_{0}\sin\omega_{0} t + B\omega_{0}\cos\omega_{0} t).
y_{p}''(t) = -2A\omega_{0}\sin\omega_{0} t + 2B\omega_{0}\cos\omega_{0} t - t\omega_{0}^{2}\bigl(A\cos\omega_{0} t + B\sin\omega_{0} t\bigr).
Agora substituindo em m y'' + k y (ou, de forma normalizada, em y''+\omega_{0}^{2}y) nota-se que os termos multiplicados por t se cancelam porque k=m\omega_{0}^{2}. O que sobra é
y_{p}'' + \omega_{0}^{2} y_{p} = -2A\omega_{0}\sin\omega_{0} t + 2B\omega_{0}\cos\omega_{0} t.
Isto deve ser igual ao termo forçante normalizado \dfrac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{0} t). Igualando coeficientes das funções \cos e \sin obtemos
2B\omega_{0} = \frac{F_{0}}{m},\qquad -2A\omega_{0}=0.
Daí A=0 e
B=\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}.

Passo 7

Calcular o coeficiente numérico B e escrever a solução particular numérica.
Substituindo F_{0}=1000, m=100 e \omega_{0}=10 (peguei esses valores dos dados e dos cálculos anteriores):
B=\frac{1000}{2\cdot 100 \cdot 10}=\frac{1000}{2000}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=\tfrac{1}{2}\, t\sin(10 t).

Passo 8

Escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais.
A solução geral é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}\cos(10t)+C_{2}\sin(10t)+\tfrac{1}{2}\,t\sin(10t).
Usando as condições iniciais (assumi y(0)=0 e y'(0)=0):
  • Em t=0: y(0)=C_{1}+0+0=0, logo C_{1}=0.
  • Derivando y(t):
y'(t)=-10C_{1}\sin(10t)+10C_{2}\cos(10t)+\tfrac{1}{2}\sin(10t)+\tfrac{1}{2}t\cdot 10\cos(10t).
Em t=0: y'(0)=10C_{2}+0+0=10C_{2}. Impor y'(0)=0 C_{2}=0.
Assim a solução completa com as condições iniciais é apenas a parte particular:
y(t)=\tfrac{1}{2}\,t\sin(10 t).

Passo 9

Interpretação física curta e unidade.
  • A solução y(t)=\tfrac{1}{2}\,t\sin(10t) (com t em segundos) está em centímetros, ou seja
y(t)=\tfrac{1}{2}\,t\sin(10t)\\ \text{cm}.
  • Fenomeno: por existir ressonância sem amortecimento, a amplitude efetiva cresce proporcionalmente ao tempo (crescimento linear), o que leva a oscilações de amplitude cada vez maiores — isso é a consequência física da ressonância não amortecida.

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}\,t\sin(10t)\\ \text{cm}

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