Um corpo de massa m=100 \mathrm{~g} está preso a uma mola de constante elástica k=10 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e submerso em um meio viscoso, com constante de amortecimento b=0.5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
(a) Determine a frequência natural do sistema.
(b) Se o corpo fosse deslocado de uma certa distância de seu ponto de equilíbrio e solto a partir do repouso, o que aconteceria com ele? Escolha abaixo a(s) alternativas correta(s0
(i) Ele atingiria a posição de equilíbrio de forma mais rápida possível.
(ii) Ele oscilaria até atingir a posição de equilíbrio.
(iii) Ele oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural.
(iv) Sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.
(c) O corpo agora é submetido a uma força externa F(t)=F_{0} \cos (\Omega t), sendo F_{0}=5 \mathrm{~N} e \Omega=15 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é o valor da amplitude de oscilação, após um tempo suficientemente longo?
(d) Com os parâmetros do exercício, plote no desmos a amplitude de oscilação em função de \omega e identifique o valor do item (c) no gráfico.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados numéricos:
    • massa: m=100\\ \mathrm{g}=0{,}1\\ \mathrm{kg}.
    • constante elástica: k=10\\ \mathrm{N/m}.
    • amortecimento viscoso: b=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
    • força externa (parte c e d): F(t)=F_{0}\cos(\Omega t) com F_{0}=5\\ \mathrm{N} e \Omega=15\\ \mathrm{rad/s}.
  • Perguntas:
    (a) Determine a frequência natural do sistema.
    (b) Se o corpo for deslocado e solto do repouso, o que aconteceria? Marcar as alternativas corretas entre:
    (i) atingiria a posição de equilíbrio o mais rápido possível;
    (ii) oscilaria até atingir a posição de equilíbrio;
    (iii) oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural;
    (iv) sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.
    (c) Para F_{0}=5\\ \mathrm{N} e \Omega=15\\ \mathrm{rad/s}, qual a amplitude de oscilação após tempo suficientemente longo (regime permanente)?
    (d) Plote em Desmos a amplitude em função de \omega com os parâmetros do exercício e identifique o ponto do item (c).

Passo 2

Modelo físico e frequência natural — conceitos e cálculo.
  • Equação do movimento (uma mola linear com amortecimento viscoso e força externa):
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F(t).
Aqui \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade, m a massa, b a constante de amortecimento (força proporcional à velocidade), k a constante da mola, e F(t) a força externa aplicada.
  • Frequência natural angular (do sistema sem amortecimento nem força externa): é a velocidade angular com que o sistema oscilaria se b=0 e F=0. A fórmula é
\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Explicação: para m\ddot{x}+kx=0 procuramos soluções do tipo x\propto\cos(\omega t). Substituindo dá -m\omega^{2}+k=0\Rightarrow \omega^{2}=k/m.
  • Cálculo numérico:
\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{10}{0{,}1}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência comum (ciclos por segundo, Hz) é
f_{0}=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}=\dfrac{10}{2\pi}\approx 1{,}5915\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Caracterização do amortecimento (ensinar o que é e como classificar).
  • A razão de amortecimento (damping ratio) \zeta é definida por
\zeta=\dfrac{b}{2m\omega_{0}}.
Interpretação:
  • \zeta<1 \Rightarrow subamortecido (underdamped): oscilações amortecidas.
  • \zeta=1 \Rightarrow criticamente amortecido: volta ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
  • \zeta>1 \Rightarrow sobreamortecido: retorna sem oscilar, mais devagar que o crítico.
  • Cálculo com os dados:
\zeta=\dfrac{0{,}5}{2\cdot0{,}1\cdot10}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25.
Como \zeta=0{,}25<1, o sistema é subamortecido: ele oscila enquanto a amplitude decai.
  • Frequência angular amortecida (frequência das oscilações quando há amortecimento):
\omega_{d}=\omega_{0}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Cálculo:
\omega_{d}=10\sqrt{1-(0{,}25)^{2}}=10\sqrt{1-0{,}0625}=10\sqrt{0{,}9375}\approx10\cdot0{,}9682458\approx9{,}682\\ \mathrm{rad/s}.
Conclusão: as oscilações (se houver) têm frequência angular menor que \omega_{0}.

Passo 4

Resposta detalhada ao item (b) — análise das alternativas e ensino do porquê.
  • Situação física: o sistema é subamortecido ( \zeta=0{,}25), então quando deslocado e solto do repouso ele realiza oscilações cujo envelope de amplitude decai exponencialmente até repousar no equilíbrio.
  • Comentário sobre cada alternativa:
    (i) “Ele atingiria a posição de equilíbrio de forma mais rápida possível.” — FALSA. Isso seria a característica do caso criticamente amortecido ( \zeta=1). Como \zeta=0{,}25, há oscilações, portanto não é o retorno mais rápido sem oscilar.
    (ii) “Ele oscilaria até atingir a posição de equilíbrio.” — VERDADEIRA. Subamortecido implica oscilações amortecidas que tendem ao equilíbrio.
    (iii) “Ele oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural.” — VERDADEIRA. Mostramos que \omega_{d}\approx9{,}682\\ \mathrm{rad/s}<\omega_{0}=10\\ \mathrm{rad/s}.
    (iv) “Sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.” — FALSA. A energia decai em função do amortecimento: para amortecimento viscoso, a amplitude decai como
A(t)=A_{0}e^{-\,\dfrac{b}{2m}t},
então a energia (proporcional a A^{2}) decai como
E(t)\propto A(t)^{2}=A_{0}^{2}e^{-\,\dfrac{b}{m}t}.
Isto mostra dependência explícita de b (viscosidade). Cálculo numérico das constantes de decaimento: b/(2m)=0{,}5/(2\cdot0{,}1)=2{,}5\\ \mathrm{s^{-1}} (decai relativamente rápido), e b/m=5\\ \mathrm{s^{-1}} para a energia. Portanto a alternativa (iv) é falsa.
  • Resultado para (b): as opções corretas são (ii) e (iii).

Passo 5

Solução do regime permanente para excitação harmônica (teoria e fórmula da amplitude).
  • Para força externa F(t)=F_{0}\cos(\Omega t) o regime permanente (após os transientes decaírem) dá uma solução forçada em forma harmônica:
x_{\text{ss}}(t)=X(\Omega)\cos(\Omega t-\delta),
onde X(\Omega) é a amplitude dependente da frequência de acionamento \Omega, e \delta é a defasagem.
  • A amplitude X(\Omega) obtém-se resolvendo a equação algébrica complexa ou aplicando balanceamento de forças; a expressão conhecida é
X(\Omega)=\dfrac{F_{0}}{\sqrt{(k-m\Omega^{2})^{2}+(b\Omega)^{2}}}.
Explicação rápida dos termos: k-m\Omega^{2} representa a diferença entre a rigidez e a inércia àquela frequência (conduzindo a ressonância quando m\Omega^{2}\approx k), e b\Omega é o termo dissipativo que alarga e limita o pico de amplitude.

Passo 6

Cálculo numérico da amplitude para os valores dados (item c).
  • Substituir m=0{,}1, k=10, b=0{,}5, F_{0}=5 e \Omega=15:
k-m\Omega^{2}=10-0{,}1\cdot(15)^{2}=10-0{,}1\cdot225=10-22{,}5=-12{,}5.
b\Omega=0{,}5\cdot15=7{,}5.
(k-m\Omega^{2})^{2}=(-12{,}5)^{2}=156{,}25,\qquad (b\Omega)^{2}=(7{,}5)^{2}=56{,}25.
\text{soma}=156{,}25+56{,}25=212{,}5.
\sqrt{212{,}5}\approx14{,}577.
X(15)=\dfrac{5}{14{,}577}\approx0{,}3429\\ \mathrm{m}.
Arredondando: X\approx0{,}343\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Como plotar em Desmos e identificar o ponto pedido (item d) — instruções práticas.
  • Função a inserir em Desmos (copiar/colar): escrever a função amplitude como
X(\omega)=\dfrac{5}{\sqrt{(10-0{,}1\,\omega^{2})^{2}+(0{,}5\,\omega)^{2}}}
no campo de entrada do Desmos. (Aqui usa-se \omega como variável).
  • Sugestão de janela para visualizar: eixo x (omega) de 0 a 25\\ \mathrm{rad/s}, eixo y de 0 a 0{,}6 m. Ajustar conforme necessário.
  • Para marcar o ponto do item (c): adicionar o ponto (15,0{,}3429) ou arredondado (15,0{,}343). No Desmos pode-se inserir algo como (15, X(15)) para traçar exatamente o ponto e ativar o rótulo.
  • Observação útil no gráfico: o pico de amplitude (ressonância) ocorrerá perto de \omega tal que m\omega^{2}\approx k quando o amortecimento é pequeno; aqui \omega_{0}=10\\ \mathrm{rad/s} e o pico estará arredondado próximo dessa região, mas a plotagem mostra explicitamente a curva e o ponto \omega=15.

Resposta

(a) \omega_{0}=10\\ \mathrm{rad/s} e f_{0}=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}\approx1{,}5915\\ \mathrm{Hz}.
(b) Alternativas corretas: (ii) e (iii).
(c) Amplitude no regime permanente: X(15)\approx0{,}343\\ \mathrm{m}.
(d) No gráfico X(\omega)=\dfrac{5}{\sqrt{(10-0{,}1\omega^{2})^{2}+(0{,}5\omega)^{2}}} plote em Desmos com \omega de 0 a 25; o ponto do item (c) é (15,\;0{,}3429\\ \text{(aprox.)}).

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