Um corpo de massa
está preso a uma mola de constante elástica
e submerso em um meio viscoso, com constante de amortecimento
.
(a) Determine a frequência natural do sistema.
(b) Se o corpo fosse deslocado de uma certa distância de seu ponto de equilíbrio e solto a partir do repouso, o que aconteceria com ele? Escolha abaixo a(s) alternativas correta(s0
(i) Ele atingiria a posição de equilíbrio de forma mais rápida possível.
(ii) Ele oscilaria até atingir a posição de equilíbrio.
(iii) Ele oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural.
(iv) Sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.
(c) O corpo agora é submetido a uma força externa
, sendo
e
. Qual é o valor da amplitude de oscilação, após um tempo suficientemente longo?
(d) Com os parâmetros do exercício, plote no desmos a amplitude de oscilação em função de
e identifique o valor do item (c) no gráfico.
(a) Determine a frequência natural do sistema.
(b) Se o corpo fosse deslocado de uma certa distância de seu ponto de equilíbrio e solto a partir do repouso, o que aconteceria com ele? Escolha abaixo a(s) alternativas correta(s0
(i) Ele atingiria a posição de equilíbrio de forma mais rápida possível.
(ii) Ele oscilaria até atingir a posição de equilíbrio.
(iii) Ele oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural.
(iv) Sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.
(c) O corpo agora é submetido a uma força externa
(d) Com os parâmetros do exercício, plote no desmos a amplitude de oscilação em função de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados numéricos:
- massa:
. - constante elástica:
. - amortecimento viscoso:
. - força externa (parte c e d):
com e .
- massa:
-
Perguntas:
(a) Determine a frequência natural do sistema.
(b) Se o corpo for deslocado e solto do repouso, o que aconteceria? Marcar as alternativas corretas entre:
(i) atingiria a posição de equilíbrio o mais rápido possível;
(ii) oscilaria até atingir a posição de equilíbrio;
(iii) oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural;
(iv) sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.
(c) Parae , qual a amplitude de oscilação após tempo suficientemente longo (regime permanente)?
(d) Plote em Desmos a amplitude em função decom os parâmetros do exercício e identifique o ponto do item (c).
Passo 2
Modelo físico e frequência natural — conceitos e cálculo.
- Equação do movimento (uma mola linear com amortecimento viscoso e força externa):
Aqui
é a aceleração,
a velocidade,
a massa,
a constante de amortecimento (força proporcional à velocidade),
a constante da mola, e
a força externa aplicada.
- Frequência natural angular (do sistema sem amortecimento nem força externa): é a velocidade angular com que o sistema oscilaria se
e . A fórmula é
Explicação: para
procuramos soluções do tipo
. Substituindo dá
.
- Cálculo numérico:
A frequência comum (ciclos por segundo, Hz) é
Passo 3
Caracterização do amortecimento (ensinar o que é e como classificar).
- A razão de amortecimento (damping ratio)
é definida por
Interpretação:
-
subamortecido (underdamped): oscilações amortecidas. -
criticamente amortecido: volta ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. -
sobreamortecido: retorna sem oscilar, mais devagar que o crítico. -
Cálculo com os dados:
Como
, o sistema é subamortecido: ele oscila enquanto a amplitude decai.
- Frequência angular amortecida (frequência das oscilações quando há amortecimento):
Cálculo:
Conclusão: as oscilações (se houver) têm frequência angular menor que
.
Passo 4
Resposta detalhada ao item (b) — análise das alternativas e ensino do porquê.
-
Situação física: o sistema é subamortecido (
), então quando deslocado e solto do repouso ele realiza oscilações cujo envelope de amplitude decai exponencialmente até repousar no equilíbrio. -
Comentário sobre cada alternativa:
(i) “Ele atingiria a posição de equilíbrio de forma mais rápida possível.” — FALSA. Isso seria a característica do caso criticamente amortecido (). Como , há oscilações, portanto não é o retorno mais rápido sem oscilar.
(ii) “Ele oscilaria até atingir a posição de equilíbrio.” — VERDADEIRA. Subamortecido implica oscilações amortecidas que tendem ao equilíbrio.
(iii) “Ele oscilaria com frequência angular menor que a frequência angular natural.” — VERDADEIRA. Mostramos que.
(iv) “Sua energia mecânica total decresceria com o tempo de maneira independente da viscosidade do meio.” — FALSA. A energia decai em função do amortecimento: para amortecimento viscoso, a amplitude decai como
então a energia (proporcional a
) decai como
Isto mostra dependência explícita de
(viscosidade). Cálculo numérico das constantes de decaimento:
(decai relativamente rápido), e
para a energia. Portanto a alternativa (iv) é falsa.
- Resultado para (b): as opções corretas são (ii) e (iii).
Passo 5
Solução do regime permanente para excitação harmônica (teoria e fórmula da amplitude).
- Para força externa
o regime permanente (após os transientes decaírem) dá uma solução forçada em forma harmônica:
onde
é a amplitude dependente da frequência de acionamento
, e
é a defasagem.
- A amplitude
obtém-se resolvendo a equação algébrica complexa ou aplicando balanceamento de forças; a expressão conhecida é
Explicação rápida dos termos:
representa a diferença entre a rigidez e a inércia àquela frequência (conduzindo a ressonância quando
), e
é o termo dissipativo que alarga e limita o pico de amplitude.
Passo 6
Cálculo numérico da amplitude para os valores dados (item c).
- Substituir
, , , e :
Arredondando:
Passo 7
Como plotar em Desmos e identificar o ponto pedido (item d) — instruções práticas.
- Função a inserir em Desmos (copiar/colar): escrever a função amplitude como
no campo de entrada do Desmos. (Aqui usa-se
como variável).
-
Sugestão de janela para visualizar: eixo
(omega) de a , eixo de a m. Ajustar conforme necessário. -
Para marcar o ponto do item (c): adicionar o ponto
ou arredondado . No Desmos pode-se inserir algo como para traçar exatamente o ponto e ativar o rótulo. -
Observação útil no gráfico: o pico de amplitude (ressonância) ocorrerá perto de
tal que quando o amortecimento é pequeno; aqui e o pico estará arredondado próximo dessa região, mas a plotagem mostra explicitamente a curva e o ponto .
Resposta
(a)
e
(b) Alternativas corretas: (ii) e (iii).
(c) Amplitude no regime permanente:
(d) No gráfico
plote em Desmos com
de
a
; o ponto do item (c) é
.