Um corpo de massa
, preso a uma mola de constante elástica
, está em movimento oscilatório. Sabendo que em
, ele passa por
com velocidade
, escreva a equação da trajetória, tanto na função seno como cosseno.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados para não nos perder):
- Massa:
. - Constante elástica da mola:
. - Condições iniciais em
: posição e velocidade .
O que o problema pede: escrever a equação da trajetóriade modo que estejam ambas as formas — a forma com seno e a forma com cosseno — explícitas e numéricas (com todas as constantes determinadas).
Passo 2
Entendendo a forma geral das soluções e a constante que aparece: para um oscilador massa-mola sem amortecimento a solução é uma oscilação harmônica com frequência angular
Aqui
é a velocidade angular (medida em
) e diz a rapidez da oscilação;
é a rigidez da mola e
a massa. Vamos calcular
com os números dados:
Passo 3
Escrever as formas gerais das soluções (duas formas equivalentes que se pedem):
- Forma cosseno (com amplitude
e fase ):
- Forma seno (com amplitude
e fase ):
Observação didática rápida: ambas representam a mesma família de curvas; amplitude positiva e fase ajustam onde a oscilação começa. As derivadas de
dão a velocidade
, que usaremos nas condições iniciais:
- Se
, então
- Se
, então
Passo 4
Achar os parâmetros usando as condições iniciais — primeiro pela forma seno, que aqui é mais direta:
A condição implica
A condição
As soluções são
ou
(mais
, etc.). Agora use
:
Se
temos
e então
Substituindo
,
Se
então
e obteríamos
, que é fisicamente a mesma solução com amplitude positiva e fase diferente. Para ficar com amplitude positiva escolhemos
. Logo a forma seno particular é
(Confere com as condições: em
,
; e
, ok.)
Passo 5
Agora obter a forma cosseno equivalente. Uma relação trigonométrica útil:
Usando
na solução que achamos,
Alternativamente poderíamos ter tomado a forma cosseno geral e aplicado
para achar
e
; o resultado é o mesmo. Assim a forma cosseno fica
Passo 6
Pequena interpretação final (útil na prova): a amplitude é
, a frequência angular é
, o período da oscilação é
Mas o que importa para a questão original são as duas formas da função
que acabamos de escrever.