Um corpo de massa 0,50 \mathrm{~kg}, preso a uma mola de constante elástica 2,0 N / m, está em movimento oscilatório. Sabendo que em t=0, ele passa por x=0 com velocidade 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, escreva a equação da trajetória, tanto na função seno como cosseno.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados para não nos perder):
  • Massa: m=0,50\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=2,0\\ \mathrm{N/m}.
  • Condições iniciais em t=0: posição x(0)=0 e velocidade v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}.
    O que o problema pede: escrever a equação da trajetória x(t) de modo que estejam ambas as formas — a forma com seno e a forma com cosseno — explícitas e numéricas (com todas as constantes determinadas).

Passo 2

Entendendo a forma geral das soluções e a constante que aparece: para um oscilador massa-mola sem amortecimento a solução é uma oscilação harmônica com frequência angular
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui \omega é a velocidade angular (medida em \mathrm{rad/s}) e diz a rapidez da oscilação; k é a rigidez da mola e m a massa. Vamos calcular \omega com os números dados:
\omega=\sqrt{\dfrac{2,0}{0,50}}=\sqrt{4}=2,0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Escrever as formas gerais das soluções (duas formas equivalentes que se pedem):
  • Forma cosseno (com amplitude A e fase \varphi):
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
  • Forma seno (com amplitude B e fase \psi):
x(t)=B\sin\!\bigl(\omega t+\psi\bigr).
Observação didática rápida: ambas representam a mesma família de curvas; amplitude positiva e fase ajustam onde a oscilação começa. As derivadas de x(t) dão a velocidade v(t), que usaremos nas condições iniciais:
  • Se x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), então
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Se x(t)=B\sin(\omega t+\psi), então
v(t)=B\omega\cos(\omega t+\psi).

Passo 4

Achar os parâmetros usando as condições iniciais — primeiro pela forma seno, que aqui é mais direta:
A condição x(0)=0 implica
x(0)=B\sin(\psi)=0\quad\Rightarrow\quad \sin(\psi)=0.
As soluções são \psi=0 ou \psi=\pi (mais 2\pi n, etc.). Agora use v(0)=2,0\\ \mathrm{m/s}:
v(0)=B\omega\cos(\psi)=2,0.
Se \psi=0 temos \cos(\psi)=1 e então
B\omega=2,0\quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{2,0}{\omega}.
Substituindo \omega=2,0\\ \mathrm{rad/s},
B=\dfrac{2,0}{2,0}=1,0\\ \mathrm{m}.
Se \psi=\pi então \cos(\psi)=-1 e obteríamos B=-1,0\\ \mathrm{m}, que é fisicamente a mesma solução com amplitude positiva e fase diferente. Para ficar com amplitude positiva escolhemos \psi=0. Logo a forma seno particular é
x(t)=1,0\sin\!\bigl(2,0\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
(Confere com as condições: em t=0, x=0; e v(0)=B\omega=1,0\cdot2,0=2,0\\ \mathrm{m/s}, ok.)

Passo 5

Agora obter a forma cosseno equivalente. Uma relação trigonométrica útil:
\sin(\theta)=\cos\!\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Usando \theta=2,0\,t na solução que achamos,
x(t)=1,0\sin(2,0\,t)=1,0\cos\!\bigl(2,0\,t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Alternativamente poderíamos ter tomado a forma cosseno geral e aplicado x(0)=0 para achar \varphi=-\tfrac{\pi}{2} e A=1,0; o resultado é o mesmo. Assim a forma cosseno fica
x(t)=1,0\cos\!\bigl(2,0\,t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Pequena interpretação final (útil na prova): a amplitude é 1,0\\ \mathrm{m}, a frequência angular é \omega=2,0\\ \mathrm{rad/s}, o período da oscilação é
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{2,0}=\pi\\ \mathrm{s}.
Mas o que importa para a questão original são as duas formas da função x(t) que acabamos de escrever.

Resposta

x(t)=1,0\sin\bigl(2,0\,t\bigr)\\ \mathrm{m}
x(t)=1,0\cos\bigl(2,0\,t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados