Maças são resfriadas da temperatura inicial de
para
, no interior de uma corrente de água a alta velocidade na temperatura de
.
a) Calcule o tempo necessário para o centro das maças atingirem a temperatura de
sendo conhecidos as propriedades;
b) Calcule o tempo necessário para o ponto situado a
da superfície atingir
.
a) Calcule o tempo necessário para o centro das maças atingirem a temperatura de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
- Temperatura inicial das maçãs:
. - Temperatura do escoamento (fluido):
. - Temperatura alvo:
. - Densidade:
. - Calor específico:
. - Condutividade térmica:
. - Coeficiente de película convectiva:
. - Raio da maçã (esfera):
.
O enunciado pede:
a) Tempo necessário para o centro da maçã atingir .
b) Tempo necessário para o ponto localizado a da superfície (ou seja a distância radial
do centro) atingir
.
a) Tempo necessário para o centro da maçã atingir
b) Tempo necessário para o ponto localizado a
Observações úteis que usarei depois:
- Temperatura adimensional que aparece muito:
. - Para
: .
Passo 2
Decidir o método: primeiro verifico se posso usar o método de corpo com temperatura uniforme (lumped capacitance). Para isso calculo o número de Biot
:
onde o comprimento característico para uma esfera é
. Então
Regra prática: se
pode-se usar lumped capacitance; aqui
, logo NÃO se pode assumir temperatura uniforme. Conclusão: o processo é controlado por condução interna e devemos usar solução transiente de condução em esfera com superfície sujeita à convecção. Como
é muito grande, a resistência de convecção é pequena comparada à resistência por condução, isto permite a aproximação de superfície praticamente à temperatura do fluido (aproximação de contorno de Dirichlet:
). Essa aproximação vai simplificar a série eigenfuncional que eu vou usar.
Também calculo a difusividade térmica (importante para o número de Fourier):
Passo 3
Apresentar a solução teórica que vou usar (separação de variáveis; esfera com fronteira mantida em
).
Para uma esfera inicialmente à temperatura uniforme
e com a superfície mantida em
(caso Dirichlet), a solução da equação de difusão pode ser escrita por séries. Defino a coordenada adimensional
e o número de Fourier adimensional
A solução para a temperatura adimensional
é (desenvolvimento por séries, coeficientes obtidos por ortogonalidade):
onde os coeficientes
para condição inicial uniforme
resultam em (faço a integral e mostro o resultado):
Portanto a expressão prática que usarei é
Observações didáticas rápidas:
- Essa série é obtida pela separação de variáveis no operador laplaciano esférico e uso das funções próprias
. - No ponto central faz-se o limite
, usando , o que dá a forma particular para o centro (ver passo seguinte). - Na prática truncamos a série em algumas primeiras parcelas; aqui as primeiras parcelas dão precisão suficiente para os tempos pedidos.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao centro (
, ou
). Tomando o limite
:
Queremos
. Então o problema reduz a encontrar
que satisfaz
Agora resolvo numericamente usando as primeiras parcelas da série. Escrevo explicitamente as primeiras parcelas:
onde defino
.
Faço iteração numérica razoavelmente precisa (explico o raciocínio):
- Começo aproximando com a primeira parcela:
. - Incluo a segunda parcela
(que é pequena quando é dessa ordem) e ajusto para satisfazer a soma. Calculando com precisão das primeiras parcelas (usando que as parcelas a partir de já são negligíveis nesta faixa), obtém-se numericamente:
Agora traduzo
em tempo:
Converto para minutos:
Interpretação: o centro da maçã atinge
em cerca de
minutos sob as hipóteses feitas (particularmente que a superfície se mantém próxima de
por causa do
grande).
Passo 5
Agora resolvo para o ponto localizado a
da superfície. Isso corresponde a uma posição radial
A expressão truncada que usarei é
Vou usar as primeiras parcelas
a
(as seguintes já têm peso muito pequeno para os
relevantes). Primeiro calculo os coeficientes numéricos envolvidos (faço as contas passo a passo):
Calculo de
com
(notar que
facilita olhar ângulos):
-
. -
. -
. -
.
Coeficientes
e produto com
:
Assim a soma parcial aproximada é
Procuro
tal que essa soma seja
. Faço iteração numérica (avalio a soma para alguns valores de
e ajusto):
- Se
(valor usado numa tentativa anterior), a soma dá (muito alta). - Se
, a soma dá (ligeiramente abaixo do alvo). - Se
, a soma dá (muito próxima do alvo).
Com ajuste fino encontro
Converto em tempo:
Em minutos:
Verificação qualitativa: esse tempo (
min) é menor que o tempo do centro (
min), o que faz sentido físico porque esse ponto está mais próximo da superfície e portanto se aproxima de
mais rápido.
Resposta
a)
b)
b)