Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica k e comprimento l, está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele é colocado em movimento circular com velocidade de módulo V. Calcular de quanto a mola foi esticada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que pedem, com as letras que vou usar):
  • Massa do corpo: m.
  • Constante elástica da mola: k.
  • Comprimento natural (não esticada) da mola: l.
  • O corpo descreve movimento circular com velocidade de módulo V sobre uma superfície horizontal sem atrito.
  • Quer-se calcular quanto a mola foi esticada: chamo essa extensão de \Delta (ou seja, a mola passa de comprimento l para comprimento final r=l+\Delta).
Pergunta do problema:
  • Determinar \Delta, a extensão da mola, em função de m, k, l e V.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem cada uma):
  • Lei de Hooke (força elástica): a mola exerce uma força de módulo igual a k vezes a extensão em relação ao comprimento natural. Se a extensão é \Delta, a força elástica (tensão) tem módulo
F_{\text{mol}} = k\,\Delta.
Aqui k é a constante elástica (unidade N/m) e \Delta é o alongamento (m).
  • Força centrípeta exigida para manter um corpo de massa m em movimento circular de raio r com velocidade V: a aceleração centrípeta tem módulo a_c = \dfrac{V^2}{r}, logo a força resultante radial dirigida para o centro deve ser
F_{\text{cent}} = m\,\dfrac{V^2}{r}.
  • Em regime estacionário (velocidade de módulo constante) a única força radial que fornece a centripeta é a tensão da mola (não há atrito). Portanto impomos equilíbrio das forças radiais (a direção radial aponta para o centro):
F_{\text{mol}} = F_{\text{cent}}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso esquema:
  • O raio da órbita é o comprimento final da mola, que é
r = l + \Delta.
  • Igualando tensão e força centrípeta:
k\,\Delta = m\,\dfrac{V^2}{r}.
Substituindo r=l+\Delta fica
k\,\Delta = m\,\dfrac{V^2}{l+\Delta}.

Passo 4

Transformar a equação anterior em uma equação algébrica em \Delta. Multiplicando ambos os lados por l+\Delta obtemos
k\,\Delta\,(l+\Delta) = m\,V^2.
Expandindo o produto no lado esquerdo:
k\bigl(l\Delta + \Delta^2\bigr) = m\,V^2.
Dividindo por k para simplificar:
\Delta^2 + l\,\Delta - \dfrac{m\,V^2}{k} = 0.
Temos, portanto, uma equação quadrática em \Delta:
\Delta^2 + l\,\Delta - \dfrac{m\,V^2}{k} = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
\Delta^2 + l\,\Delta - \dfrac{m\,V^2}{k} = 0,
os coeficientes são a=1, b=l, c=-\dfrac{mV^2}{k}. A solução é
\Delta = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Substituindo:
\Delta = \dfrac{-l \pm \sqrt{l^2 - 4\cdot 1 \cdot\left(-\dfrac{mV^2}{k}\right)}}{2} = \dfrac{-l \pm \sqrt{l^2 + \dfrac{4mV^2}{k}}}{2}.

Passo 6

Escolher a raiz fisicamente aceitável. Como \Delta é uma extensão (deve ser \ge 0), descartamos a solução com o sinal menos antes da raiz (essa daria \Delta<0 porque -l-\sqrt{\cdots} é negativo). Assim a solução física é com o sinal mais:
\Delta = \dfrac{-l + \sqrt{\,l^2 + \dfrac{4mV^2}{k}\,}}{2}.
Essa expressão dá a extensão positiva desejada. Podemos escrever de modo ligeiramente mais compacto:
\Delta = \frac{-l + \sqrt{l^2 + \dfrac{4mV^2}{k}}}{2}.

Passo 7

Breta explicação extra curta para confiança (checagem por limites):
  • Se V\to 0 então a raiz tende a \sqrt{l^2}=l e \Delta\to(-l+l)/2=0, OK.
  • Para k muito grande (mola muito rígida) o termo \dfrac{4mV^2}{k} fica pequeno e \Delta tende a zero, também faz sentido.

Resposta

\Delta=\dfrac{-\,l+\sqrt{\,l^{2}+\dfrac{4\,m\,V^{2}}{k}\,}}{2}

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