Um corpo de massa
, preso a uma mola de constante elástica
e comprimento
, está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele é colocado em movimento circular com velocidade de módulo
. Calcular de quanto a mola foi esticada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que pedem, com as letras que vou usar):
- Massa do corpo:
. - Constante elástica da mola:
. - Comprimento natural (não esticada) da mola:
. - O corpo descreve movimento circular com velocidade de módulo
sobre uma superfície horizontal sem atrito. - Quer-se calcular quanto a mola foi esticada: chamo essa extensão de
(ou seja, a mola passa de comprimento para comprimento final ).
Pergunta do problema:
- Determinar
, a extensão da mola, em função de , , e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem cada uma):
- Lei de Hooke (força elástica): a mola exerce uma força de módulo igual a
vezes a extensão em relação ao comprimento natural. Se a extensão é , a força elástica (tensão) tem módulo
Aqui
é a constante elástica (unidade N/m) e
é o alongamento (m).
- Força centrípeta exigida para manter um corpo de massa
em movimento circular de raio com velocidade : a aceleração centrípeta tem módulo , logo a força resultante radial dirigida para o centro deve ser
- Em regime estacionário (velocidade de módulo constante) a única força radial que fornece a centripeta é a tensão da mola (não há atrito). Portanto impomos equilíbrio das forças radiais (a direção radial aponta para o centro):
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso esquema:
- O raio da órbita é o comprimento final da mola, que é
- Igualando tensão e força centrípeta:
Substituindo
fica
Passo 4
Transformar a equação anterior em uma equação algébrica em
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expandindo o produto no lado esquerdo:
Dividindo por
para simplificar:
Temos, portanto, uma equação quadrática em
:
Passo 5
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
os coeficientes são
,
,
. A solução é
Substituindo:
Passo 6
Escolher a raiz fisicamente aceitável. Como
é uma extensão (deve ser
), descartamos a solução com o sinal menos antes da raiz (essa daria
porque
é negativo). Assim a solução física é com o sinal mais:
Essa expressão dá a extensão positiva desejada. Podemos escrever de modo ligeiramente mais compacto:
Passo 7
Breta explicação extra curta para confiança (checagem por limites):
- Se
então a raiz tende a e , OK. - Para
muito grande (mola muito rígida) o termo fica pequeno e tende a zero, também faz sentido.