5- Um corpo de massa 50 g está preso a uma mola de constante
e oscila, inicialmente, livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é
. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma força externa
.
a) Determine a frequência natural do sistema
b) Qual o regime de oscilação do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela
c) Depois que a força externa é aplicada e que o sistema entrou no regime estacionário, qual o valor da força externa amplitude do movimento?
a) Determine a frequência natural do sistema
b) Qual o regime de oscilação do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela
c) Depois que a força externa é aplicada e que o sistema entrou no regime estacionário, qual o valor da força externa amplitude do movimento?
Passo 1
O enunciado dá um oscilador massa-mola inicialmente livre e depois submetido a amortecimento viscoso e a uma força externa. Perguntas e dados importantes (copiados do enunciado):
- Determinar a frequência natural do sistema.
- Identificar o regime de oscilação quando o sistema está imerso no meio viscoso, antes da excitação externa.
- Depois da aplicação da força externa e atingido o regime estacionário, determinar a amplitude do movimento.
Não vou resolver nada aqui; só organizei o que foi pedido e os valores fornecidos.
Passo 2
Calcular a frequência natural do sistema — teoria curta e aplicação:
Teoria (fórmula e significado)
Aqui
tem unidades de
. A frequência em hertz
é dada por
onde
tem unidades de
(ciclos por segundo).
Aplicação numérica passo a passo
Calculemos internamente:
. Logo
Agora a frequência em hertz:
Passo 3
Determinar o regime de amortecimento quando o sistema está imerso no meio viscoso (antes da força externa) — teoria e aplicação:
Teoria (classificação)
Para o sistema linear massa-mola-amortecedor com coeficiente viscous , o coeficiente crítico de amortecimento é
Para o sistema linear massa-mola-amortecedor com coeficiente viscous
- Se
: sobreamortecido (overdamped) — retorna ao equilíbrio sem oscilar. - Se
: criticamente amortecido — retorno mais rápido sem oscilar. - Se
: subamortecido (underdamped) — oscilações amortecidas (oscilatórias com amplitude decrescente).
Aplicação numérica
Calculemos :
Calculemos
Comparando com o amortecimento dado
:
Conclusão: o sistema está no regime subamortecido (oscilações amortecidas). Em palavras: ele vai oscilar com frequência amortecida (menor que
) e amplitude decrescente exponencialmente.
Passo 4
Encontrar a amplitude do movimento no regime estacionário sob a força externa — formulando o problema e derivando a fórmula:
Equação do movimento (modelo e significado)
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento,
a constante da mola,
a amplitude da força excitadora e
a frequência angular da força aplicada.
Procuramos a solução particular de regime estacionário. Teoria do particular (sutis passos didáticos):
No regime estacionário a solução particular tem a mesma frequência da força: assumimos
No regime estacionário a solução particular tem a mesma frequência da força: assumimos
onde
é a amplitude (o que nos pedem) e
é a defasagem entre força e resposta. Substituindo
, suas derivadas são
Substituindo na equação do movimento e igualando os coeficientes (ou usando método fasorial), chega-se à fórmula padrão para a amplitude:
Explicando cada termo:
-
é a amplitude da força (neste problema ). -
mede o desajuste entre rigidez e inércia àquela frequência. -
representa a contribuição do amortecimento na oposição ao movimento.
A raiz quadrada no denominador combina os efeitos de rigidez/inércia e de amortecimento.
Passo 5
Aplicar a fórmula para os números dados; notar que
da força é exatamente
— caso especial (ressonância amortecida):
Dados para inserir
Calcule primeiro
:
logo
Assim o denominador da fórmula de
simplifica para
. Portanto a amplitude em regime estacionário (excitação na frequência natural) é
Substituindo números:
Comentário físico curto (útil para prova)
Quando a força excita exatamente na frequência natural do sistema sem amortecimento, a amplitude tenderia ao infinito (ressonância). Com amortecimento finito, a amplitude máxima em ressonância é finita e vale . Aqui obtemos
. Também, a defasagem
entre força e resposta, pela fórmula da fase,
Quando a força excita exatamente na frequência natural do sistema sem amortecimento, a amplitude tenderia ao infinito (ressonância). Com amortecimento finito, a amplitude máxima em ressonância é finita e vale
no nosso caso tem denominador zero, portanto
(a resposta defasada de
em relação à força).
Passo 6
Resumo final dos resultados intermediários (já calculados) e confirmação das unidades — pronto para checar na prova:
-
e . - Regime com
é subamortecido (oscilações amortecidas). - Amplitude em regime estacionário sob
: .
Resposta
a)
e
b) Subamortecido (oscilações amortecidas), pois
c) Amplitude no regime estacionário: