5- Um corpo de massa 50 g está preso a uma mola de constante \mathrm{k}=20 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e oscila, inicialmente, livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é \rho =0,9 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma força externa \mathrm{F}= 9 \cos (20 \mathrm{t}).
a) Determine a frequência natural do sistema
b) Qual o regime de oscilação do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela
c) Depois que a força externa é aplicada e que o sistema entrou no regime estacionário, qual o valor da força externa amplitude do movimento?

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola inicialmente livre e depois submetido a amortecimento viscoso e a uma força externa. Perguntas e dados importantes (copiados do enunciado):
\bullet Perguntas:
  1. Determinar a frequência natural do sistema.
  2. Identificar o regime de oscilação quando o sistema está imerso no meio viscoso, antes da excitação externa.
  3. Depois da aplicação da força externa e atingido o regime estacionário, determinar a amplitude do movimento.
\bullet Dados numéricos:
m = 50\\ \text{g} = 0{,}05\\ \text{kg},
k = 20\\ \text{N/m},
c = \rho = 0{,}9\\ \text{kg/s},
F(t) = 9\cos(20t)\quad\text{(ou seja, amplitude }F_0=9\\ \text{N e }\omega=20\\ \text{rad/s).}
Não vou resolver nada aqui; só organizei o que foi pedido e os valores fornecidos.

Passo 2

Calcular a frequência natural do sistema — teoria curta e aplicação:
Teoria (fórmula e significado)
\text{A frequência angular natural } \omega_0 \text{ de um oscilador massa-mola sem amortecimento é}êé
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega_0 tem unidades de \text{rad/s}. A frequência em hertz f_0 é dada por
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi},
onde f_0 tem unidades de \text{Hz} (ciclos por segundo).
Aplicação numérica passo a passo
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0{,}05}}.
Calculemos internamente: \frac{20}{0{,}05} = 400. Logo
\omega_0 = \sqrt{400} = 20\\ \text{rad/s}.
Agora a frequência em hertz:
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 3{,}183\\ \text{Hz}.

Passo 3

Determinar o regime de amortecimento quando o sistema está imerso no meio viscoso (antes da força externa) — teoria e aplicação:
Teoria (classificação)
Para o sistema linear massa-mola-amortecedor com coeficiente viscous c, o coeficiente crítico de amortecimento é
c_{\text{crítico}} = 2m\omega_0 = 2\sqrt{km}.í
  • Se c > c_{\text{crítico}}í: sobreamortecido (overdamped) — retorna ao equilíbrio sem oscilar.
  • Se c = c_{\text{crítico}}í: criticamente amortecido — retorno mais rápido sem oscilar.
  • Se c < c_{\text{crítico}}í: subamortecido (underdamped) — oscilações amortecidas (oscilatórias com amplitude decrescente).
Aplicação numérica
Calculemos c_{\text{crítico}}í:
c_{\text{crítico}} = 2m\omega_0 = 2\cdot 0{,}05\cdot 20 = 2{,}0\\ \text{kg/s}.í
Comparando com o amortecimento dado c=0{,}9\\ \text{kg/s}:
c = 0{,}9 < c_{\text{crítico}} = 2{,}0.í
Conclusão: o sistema está no regime subamortecido (oscilações amortecidas). Em palavras: ele vai oscilar com frequência amortecida (menor que \omega_0) e amplitude decrescente exponencialmente.

Passo 4

Encontrar a amplitude do movimento no regime estacionário sob a força externa — formulando o problema e derivando a fórmula:
Equação do movimento (modelo e significado)
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t),
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento, k a constante da mola, F_0 a amplitude da força excitadora e \omega a frequência angular da força aplicada.
Procuramos a solução particular de regime estacionário. Teoria do particular (sutis passos didáticos):
No regime estacionário a solução particular tem a mesma frequência da força: assumimos
x_p(t) = A\cos(\omega t - \varphi),
onde A é a amplitude (o que nos pedem) e \varphi é a defasagem entre força e resposta. Substituindo x_p, suas derivadas são
\dot{x}_p(t) = -A\omega\sin(\omega t - \varphi),\qquad \ddot{x}_p(t) = -A\omega^2\cos(\omega t - \varphi).
Substituindo na equação do movimento e igualando os coeficientes (ou usando método fasorial), chega-se à fórmula padrão para a amplitude:
A(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}.
Explicando cada termo:
  • F_0 é a amplitude da força (neste problema F_0=9\\ \text{N}).
  • k - m\omega^2 mede o desajuste entre rigidez e inércia àquela frequência.
  • c\omega representa a contribuição do amortecimento na oposição ao movimento.
    A raiz quadrada no denominador combina os efeitos de rigidez/inércia e de amortecimento.

Passo 5

Aplicar a fórmula para os números dados; notar que \omega da força é exatamente \omega_0 — caso especial (ressonância amortecida):
Dados para inserir
F_0 = 9,\quad m = 0{,}05,\quad k = 20,\quad c = 0{,}9,\quad \omega = 20\\ \text{rad/s}.
Calcule primeiro k - m\omega^2:
m\omega^2 = 0{,}05\cdot 20^2 = 0{,}05\cdot 400 = 20,
logo
k - m\omega^2 = 20 - 20 = 0.
Assim o denominador da fórmula de A simplifica para \sqrt{0^2 + (c\omega)^2} = c\omega. Portanto a amplitude em regime estacionário (excitação na frequência natural) é
A = \frac{F_0}{c\omega}.
Substituindo números:
A = \frac{9}{0{,}9\cdot 20} = \frac{9}{18} = 0{,}5\\ \text{m}.
Comentário físico curto (útil para prova)
Quando a força excita exatamente na frequência natural do sistema sem amortecimento, a amplitude tenderia ao infinito (ressonância). Com amortecimento finito, a amplitude máxima em ressonância é finita e vale \dfrac{F_0}{c\omega_0}. Aqui obtemos 0{,}5\\ \text{m}. Também, a defasagem \varphi entre força e resposta, pela fórmula da fase,
\varphi = \arctan\!\left(\frac{c\omega}{k-m\omega^2}\right),
no nosso caso tem denominador zero, portanto \varphi = \frac{\pi}{2} (a resposta defasada de 90^\circ em relação à força).

Passo 6

Resumo final dos resultados intermediários (já calculados) e confirmação das unidades — pronto para checar na prova:
  • \omega_0 = 20\\ \text{rad/s} e f_0 = \dfrac{10}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 3{,}183\\ \text{Hz}.
  • Regime com c=0{,}9\\ \text{kg/s} é subamortecido (oscilações amortecidas).
  • Amplitude em regime estacionário sob F=9\cos(20t): A=0{,}5\\ \text{m}.

Resposta

a) \omega_0 = 20\\ \text{rad/s} e f_0 = \dfrac{10}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 3{,}183\\ \text{Hz}.
b) Subamortecido (oscilações amortecidas), pois c=0{,}9 < c_{\text{crítico}}=2{,}0\\ \text{kg/s}.í
c) Amplitude no regime estacionário: A = 0{,}5\\ \text{m}.

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